在菱形ABCD中，∠ABC=120°，點P是直線AC上一動點（點P不與點A重合），連接DP，以DP為邊作等邊三角形DPQ，連接BQ，CQ．
（1）以D，P，Q三點按逆時針方向排列．
①如圖1，當點P在線段AC上時，AP與QB的數量關系是 AP=QBAP=QB．
②如圖2，當點P在線段AC的延長線上時，①中的結論是否還成立？若成立，請予以證明，若不成立，請說明理由．
（2）若AB的長為23．
①當點Q，B，P三點在同一直線上時，直接寫出△BQC的面積．
②若點P在線段CA的延長線上，當AQ垂直平分DP時，直接寫出點A，點Q之間的距離．
2
3
【考點】四邊形綜合題．
【答案】AP=QB
【解答】
【點評】
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發布：2024/8/5 8:0:8組卷：277引用：3難度：0.3
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如圖，將矩形紙片ABCD折疊，點A與點D重合，點C與點B重合，將紙片展開，折痕為EF，在AD邊上找一點P，沿CP將△PCD折疊，得到△PCQ，點D的對應點為點Q．
問題提出：
（1）若點Q落在EF上，CD=2，連接BQ．
①△CQB是 三角形；
②若△CQB是等邊三角形，則AD的長為 ．
深入探究：
（2）在（1）的條件下，當AD=2時，判斷△CQB的形狀并證明；2
拓展延伸；
（3）若AB=6，AD=8，其他條件不變，當點Q落在矩形ABFE內部（包括邊）時，連接AQ，直接寫出AQ的取值范圍．發布：2025/5/22 16:30:1組卷：236引用：2難度：0.3 -
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（1）操作：
操作一：對折正方形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；
操作二：在AD上選一點P，沿BP折疊，使點A落在正方形內部點M處，把紙片展平，連結PM、BM，延長PM交CD于點Q，連結BQ．
（2）探究：
①如圖①，當點M在EF上時，∠EMB=°．
②改變點P在AD上的位置（點P不與點A、D重合），如圖②，判斷MQ與CQ的數量關系，并說明理由．
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3．如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°，點P從點A出發，沿線段AD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動，過點P作PQ⊥AB于點Q，作PM⊥AD交直線AB于點M，交直線BC于點F，設△PQM與菱形ABCD重疊部分圖形的面積 為s（平方單位），點P運動時間為t（秒）．
（1）當點M與點B重合時，則t=；
（2）求整個運動過程中s的最大值；
（3）以線段PQ為邊，在PQ右側作等邊△PQE，當2≤t≤4時，求點E運動路徑的長．發布：2025/5/22 17:0:1組卷：407引用：5難度：0.3