已知橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）過點（-2，1），長軸長為25，過點C（-1，0）且斜率為k的直線l與橢圓相交于不同的兩點A、B．
（1）求橢圓的方程；
（2）若線段AB中點的橫坐標是-12，求直線l的斜率；
（3）在x軸上是否存在點M，使MA?MB+53k2+1是與k無關的常數？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
（
-
2
，
1
）
2
5
-
1
2
MA
?
MB
+
5
3
k
2
+
1
【考點】直線與圓錐曲線的綜合．
【答案】（1）x2+3y2=5．
（2）±．
（3）假設在x軸上存在點M（m，0），
使是與k無關的常數，
由
-5=0
設A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1+x2=，
∵）
∴
=（x1-m）（x2-m）+k2（x1+1）（x2+1）+
=（1+k2）x1x2+（k2-m）（x1+x2）+m2+k2+
=（1+k2）
=是與k無關的常數，設常數為t，
則=t
整理得（3m2+6m-1-3t）k2+m2-t=0對任意的k恒成立∴
，解得m=
即在x軸上存在點M（，0），
使是與k無關的常數．
（2）±
3
3
（3）假設在x軸上存在點M（m，0），
使
MA
?
MB
+
5
3
k
2
+
1
由
x 2 + 3 y 2 = 5 |
y = k （ x + 1 ） |
得
：
（
3
k
2
+
1
）
x
2
+
6
k
2
x
+
3
k
2
設A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1+x2=
-
6
k
2
3
k
2
+
1
，
x
1
?
x
2
=
3
k
2
-
5
3
k
2
+
1
∵
MA
=
（
x
1
-
m
，
y
1
）
，
MB
=
（
x
2
-
m
，
y
2
∴
MA
?
MB
+
5
3
k
2
+
1
=
（
x
1
-
m
）
（
x
2
-
m
）
+
y
1
y
2
+
5
3
k
2
+
1
=（x1-m）（x2-m）+k2（x1+1）（x2+1）+
5
3
k
2
+
1
=（1+k2）x1x2+（k2-m）（x1+x2）+m2+k2+
5
3
k
2
+
1
=（1+k2）
3
k
2
-
5
3
k
2
+
1
+
（
k
2
-
m
）
-
6
k
2
3
k
2
+
1
+
m
2
+
k
2
+
5
3
k
2
+
1
=
-
k
2
+
6
m
k
2
+
3
m
2
k
2
+
m
2
3
k
2
+
1
則
-
k
2
+
6
m
k
2
+
3
m
2
k
2
+
m
2
3
k
2
+
1
整理得（3m2+6m-1-3t）k2+m2-t=0對任意的k恒成立∴
3 m 2 + 6 m - 1 - 3 t = 0 |
m 2 - t = 0 |
1
6
即在x軸上存在點M（
1
6
使
MA
?
MB
+
5
3
k
2
+
1
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：38引用：2難度：0.1
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