如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（-1，0）、B兩點，頂點D（1，4），過點A的直線與拋物線相交于點C，與拋物線對稱軸DF交于點E，∠CAB=45°．
（1）求該拋物線解析式；
（2）在對稱軸DF上是否存在一點M，使以點A、E、M為頂點的三角形與△CDE相似，若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）點P是線段AC上一動點，過點P作直線PQ⊥x軸交拋物線于點Q，當線段PQ的長度最大時，求P點坐標與PQ的最大值．
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）y=-（x-1）2+4；
（2）存在，M（1，-2）或（1，0）；
（3），．
（2）存在，M（1，-2）或（1，0）；
（3）
P
（
1
2
，
3
2
）
PQ
=
9
4
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：265引用：1難度：0.2
相似題
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1．已知點P是二次函數y1=-（x-m+1）2+m2-m-1圖象的頂點．
（1）小明發現，對m取不同的值時，點P的位置也不同，但是這些點都在某一個函數的圖象上，請協助小明完成對這個函數的表達式的探究：
①將下表填寫完整：
②描出表格中的五個點，猜想這些點在哪個函數的圖象上？求出這個圖象對應的函數表達式，并加以驗證；m -1 0 1 2 3 P點坐標 （-2，1） （-1，-1）
（2）若過點（0，2），且平行于x軸的直線與y1=-（x-m+1）2+m2-m-1的圖象有兩個交點A和B，與②中得到的函數的圖象有兩個交點C和D，當AB=CD時，直接寫出m的值等于 ；
（3）若m≥2，點Q在二次函數y1=-（x-m+1）2+m2-m-1的圖象上，橫坐標為m,點E在②中得到的函數的圖象上，當∠EPQ=90°時，求出E點的橫坐標（用含m的代數式表示）．發布：2025/5/25 18:30:1組卷：259引用：1難度：0.3 -
2．如圖，拋物線與坐標軸分別交于A（-1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線上是否存在點P，使得∠CBP=∠ACO，若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；
（3）如圖2，Q是△ABC內任意一點，連接AQ，BQ，CQ，分別交BC于點D，交拋物線于點E，交x軸于點F，求+DQAD+EQBE的值．QFCF發布：2025/5/25 18:30:1組卷：64引用：1難度：0.2 -
3．已知點P（m,n）在拋物線y=ax2+2x+1上運動．
（1）當a=-1時，若點P到y軸的距離小于2，求n的取值范圍；
（2）當-4≤m≤0時，n的最大值是1，求a的取值范圍．發布：2025/5/25 18:30:1組卷：205引用：2難度：0.4