【問題提出】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點E，F分別為邊AC，BC的中點，將△EFC繞點C順時針旋轉α（0°＜α＜360°），連接AE，BF，試探究AE，BF之間存在怎樣的數量關系和位置關系？
【特例探究】若AC=BC，將△EFC繞點C順時針旋轉至圖2的位置，直線BF與AE，AC分別交于點M，N．按以下思路完成填空（第一個空填推理依據，第二個空填數量關系，第三個空填位置關系）：
∵AC=BC，點E，F分別為邊AC，BC的中點，
∴CE=CF．
∵∠ACB=∠ECF，
∴∠ACE=∠BCF．
∴△ACE≌△BCF（ SASSAS）．
∴AE ==BF，∠CAE=∠CBF．
又∵∠ANM=∠BNC，
∴∠AMN=∠BCN=90°．
∴AE ⊥⊥BM．
【猜想證明】若BC=nAC（n＞1），△EFC繞點C順時針旋轉至圖3的位置，直線AE與BF，BC分別交于點M，N，猜想AE與BF之間的數量關系與位置關系，并就圖3所示的情況加以證明；
【拓展運用】若AC=4，BC=6，將△EFC繞點C順時針旋轉α（0°＜α＜360°），直線AE與BF相交于點M，當以點C，E，M，F為頂點的四邊形是矩形時，請直接寫出BM的長．
【考點】四邊形綜合題．
【答案】SAS；=；⊥
【解答】
【點評】
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發布：2024/5/8 8:0:8組卷：55引用：3難度：0.5
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1．已知：如圖①，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且AC=12cm,BD=16cm.點P從點A出發，沿AB方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，直線EF從點D出發，沿DB方向勻速運動，速度為1cm/s,EF⊥BD，且與AD，BD，CD分別交于點E，Q，F；當直線EF停止運動時，點P也停止運動．連接PC、PE，設運動時間為t（s）（0＜t＜8）．解答下列問題：
（1）當t為何值時，點A在線段PE的垂直平分線上？
（2）設四邊形PCFE的面積為y（cm2），求y與t之間的函數關系式；
（3）如圖②，連接PO、EO，是否存在某一時刻t,使∠POE=90°？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．發布：2025/5/22 21:0:1組卷：374引用：3難度：0.1 -
2．（1）問題：如圖①，在Rt△ABC中，AB=AC，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，連接EC，則線段BD和線段CE的數量關系是 ，位置關系是 ．
（2）探索：如圖②，在Rt△ABC與Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，將△ADE繞點A旋轉，使點D落在BC邊上，試探索線段BD，CD，DE之間滿足的等量關系，并證明結論；
（3）應用：如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，若BD=12，CD=4，求AD的長．
發布：2025/5/22 21:0:1組卷：348引用：2難度：0.2 -
3．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8cm,BC=6cm,AD=10cm,點P、Q分別是線段CD和AD上的動點．點P以2cm/s的速度從點D向點C運動，同時點Q以1cm/s的速度從點A向點D運動，當其中一點到達終點時，兩點停止運動，將PQ沿AD翻折得到QP'，連接PP'交直線AD于點E，連接AC、BQ．設運動時間為t（s），回答下列問題：
（1）當t為何值時，PQ∥AC？
（2）求四邊形BCPQ的面積S（cm2）關于時間t（s）的函數關系式；
（3）是否存在某時刻t,使點Q在∠P'PD平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．發布：2025/5/22 21:0:1組卷：244引用：2難度：0.1