《瀑布》（圖1）是最為人所知的作品之一，圖中的瀑布會源源不斷地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至極，但又會讓你百看不膩，畫面下方還有一位饒有興致的觀察者，似乎他沒發現什么不對勁．此時，他既是畫外的觀看者，也是埃舍爾自己．畫面兩座高塔各有一個幾何體，左塔上方是著名的“三立方體合體”由三個正方體構成，右塔上的幾何體是首次出現，后稱“埃舍爾多面體”（圖2）
埃舍爾多面體可以用兩兩垂直且中心重合的三個正方形構造，設邊長均為2，定義正方形AnBnCnDn，n=1，2，3的頂點為“框架點”，定義兩正方形交線為“極軸”，其端點為“極點”，記為Pn，Qn，將極點P1，Q1，分別與正方形A2B2C2D2的頂點連線，取其中點記為Em，Fm，m=1，2，3，4，如（圖3）．埃舍爾多面體可視部分是由12個四棱錐構成，這些四棱錐頂點均為“框架點”，底面四邊形由兩個“極點”與兩個“中點”構成，為了便于理解，圖4我們構造了其中兩個四棱錐A1-P1E1P2E2與A2-P2E1P3F1
（1）求異面直線P1A2與Q1B2成角余弦值；
（2）求平面P1A1E1與平面A1E2P2的夾角正弦值；
（3）求埃舍爾體的表面積與體積（直接寫出答案）．
【考點】二面角的平面角及求法；棱柱、棱錐、棱臺的體積．
【答案】（1）；（2）；（3）表面積為，體積為2．
1
3
3
2
12
2
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：238引用：8難度：0.3
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