2022-2023學年上海市徐匯區南洋模范中學高二（上）期末數學試卷

一、填空題

• 1．若

  C

  2

  n

  =

  C

  2

  n

  -

  1

  +

  C

  3

  n

  -

  1

  （n∈N*），則n=

  ．
  組卷：423難度：0.7

  解析

• 2．總體是由編號為01，02，?，29，30的30個個體組成．利用下面的隨機數表選取5個個體，選取方法是從隨機數表第1行的第5列和第6列數字開始由左到右依次選取兩個數字，則選出來的第5個個體的編號為

  ．

  7816	1572	0802	6315	0216	4319	9714	0198
  3204	9234	4936	8200	3623	4869	6938	7181
  組卷：418引用：6難度：0.7

  解析

• 3．已知△ABC所在平面外一點P，且PA，PB，PC兩兩垂直，則點P在平面ABC內的射影應為△ABC的

  心．
  組卷：222引用：2難度：0.6

  解析

• 4．某校要從高一、高二、高三共2023名學生中選取50名組成志愿團，若先用簡單隨機抽樣的方法從2023名學生中剔除23名，再從剩下的2000名學生中按分層隨機抽樣的方法抽取50名，則每名學生入選的可能性

  ．
  組卷：108引用：1難度：0.7

  解析

• 5．在

  （

  x

  -

  2

  x

  ）

  9

  的二項展開式中，x³項的系數是

  ．
  組卷：146引用：4難度：0.8

  解析

• 6．已知圓錐的側面積（單位：cm²）為2π，且它的側面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑（單位：cm）是

  ．
  組卷：2681引用：13難度：0.7

  解析

• 7．如圖所示：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AB=BC=BB₁，則平面A₁B₁C與平面ABC所成的二面角的大小為

  ．
  組卷：486引用：5難度：0.5

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三、解答題

• 20．《瀑布》（圖1）是最為人所知的作品之一，圖中的瀑布會源源不斷地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至極，但又會讓你百看不膩，畫面下方還有一位饒有興致的觀察者，似乎他沒發現什么不對勁．此時，他既是畫外的觀看者，也是埃舍爾自己．畫面兩座高塔各有一個幾何體，左塔上方是著名的“三立方體合體”由三個正方體構成，右塔上的幾何體是首次出現，后稱“埃舍爾多面體”（圖2）
  
  埃舍爾多面體可以用兩兩垂直且中心重合的三個正方形構造，設邊長均為2，定義正方形A_nB_nC_nD_n，n=1，2，3的頂點為“框架點”，定義兩正方形交線為“極軸”，其端點為“極點”，記為P_n，Q_n，將極點P₁，Q₁，分別與正方形A₂B₂C₂D₂的頂點連線，取其中點記為E_m，F_m，m=1，2，3，4，如（圖3）．埃舍爾多面體可視部分是由12個四棱錐構成，這些四棱錐頂點均為“框架點”，底面四邊形由兩個“極點”與兩個“中點”構成，為了便于理解，圖4我們構造了其中兩個四棱錐A₁-P₁E₁P₂E₂與A₂-P₂E₁P₃F₁
  （1）求異面直線P₁A₂與Q₁B₂成角余弦值；
  （2）求平面P₁A₁E₁與平面A₁E₂P₂的夾角正弦值；
  （3）求埃舍爾體的表面積與體積（直接寫出答案）．
  組卷：238引用：8難度：0.3

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• 21．隨著網絡的快速發展，電子商務成為新的經濟增長點，市場競爭也日趨激烈，除了產品品質外，客服團隊良好的服務品質也是電子商務的核心競爭力，衡量一位客服工作能力的重要指標-詢單轉化率，是指咨詢該客服的顧客中成交人數占比，可以看作一位顧客咨詢該客服后成交的概率，已知某網店共有10位客服，按詢單率分為A，B兩個等級（見表），且視A，B等級客服的詢單轉化率分別為對應區間的中點值．
  

  等級	A	B
  詢單轉化率	[70%，90%）	[50%，70%）
  人數	6	4

  （1）求該網店詢單轉化率的平均值；
  （2）現從這10位客服中任意抽取4位進行培訓，求這4人的詢單轉化率的中位數不低于70%的概率；
  （3）已知該網店日均咨詢顧客約為1萬人，為保證服務質量，每位客服日接待顧客的數量不超過1300人．在網店的前期經營中，進店咨詢的每位顧客由系統等可能地安排給任一位客服接待，為了提升店鋪成交量，網店實施改革，經系統調整，進店咨詢的每位顧客被任一位A等級客服接待的概率為a,被任一位B等級客服接待的概率為b,若希望改革后經咨詢日均成交人數至少比改革前增加300人，則a應該控制在什么范圍？
  組卷：99難度：0.4

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