已知Γ：x22+y2=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其左、右焦點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)P（m,0）（m≤-2），交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且A，B在x軸上方，點(diǎn)A在線段BP上．
（1）若B是上頂點(diǎn)，|BF1|=|PF1|，求m的值；
（2）若F1A?F2A=13，且原點(diǎn)O到直線l的距離為41515，求直線l的方程；
（3）證明：對(duì)于任意m＜-2，使得F1A∥F2B的直線有且僅有一條．
x
2
2
2
B
F
1
P
F
1
F
1
A
F
2
A
1
3
4
15
15
2
F
1
A
F
2
B
【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合．
【答案】（1）；
（2）；
（3）證明：聯(lián)立方程組
，可得（1+2k2）x2-4k2mx+2k2m2-2=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則，
因?yàn)?div dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math">
∥-
1
-
2
（2）
y
=
1
3
x
+
4
6
9
（3）證明：聯(lián)立方程組
y = kx - km |
x 2 2 + y 2 = 1 |
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則
x
1
+
x
2
=
4
k
2
m
1
+
2
k
2
，
x
1
x
2
=
2
k
2
m
2
-
2
1
+
2
k
2
因?yàn)?div dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math">
F
1
A
F
2
B
所以（x2-1）y1=（x1+1）y2，又y=kx-km，
故化簡(jiǎn)為
x
1
-
x
2
=
-
2
1
+
2
k
2
又
|
x
1
-
x
2
|
=
（
x
1
+
x
2
）
2
-
4
x
1
x
2
16
k
2
-
8
k
2
m
2
+
8
1
+
2
k
2
=
|
-
2
1
+
2
k
2
|
兩邊同時(shí)平方可得，4k2-2k2m2+1=0，
整理可得
k
2
=
-
1
4
-
2
m
2
當(dāng)m＜
-
2
k
2
=
-
1
4
-
2
m
2
因?yàn)辄c(diǎn)A，B在x軸上方，
所以k有且僅有一個(gè)解，
故對(duì)于任意m＜-
2
F
1
A
F
2
B
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：2266引用：2難度：0.3
相似題
-
1．點(diǎn)P在以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1，P2兩點(diǎn)，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過(guò)點(diǎn)Q（m,0）（m為非零常數(shù)）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N，且（λ為非零常數(shù)），問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發(fā)布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
2．已知兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），曲線C上一點(diǎn)任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于2
．5
（1）求曲線C的方程；
（2）過(guò)F1（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF2的面積．發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：101引用：1難度：0.9 -
3．若過(guò)點(diǎn)（0，-1）的直線l與拋物線y2=2x有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的直線有（ ?。l．
發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7