數(shù)學(xué)上的對(duì)稱(chēng)通常是指軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)，以及對(duì)稱(chēng)的思想方法．某數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行折紙活動(dòng)，來(lái)感受圖形中的對(duì)稱(chēng)思想．如圖1，將正方形紙片ABCD對(duì)折后展開(kāi)，得到折痕HG；如圖2，將紙片再次折疊，使點(diǎn)A落在折痕HG上，記作點(diǎn)F；如圖3，連接AF，得到△ABF．
（1）請(qǐng)判斷：△ABF是 等邊等邊三角形；
【問(wèn)題提出】
興趣小組成員想要進(jìn)一步找到正方形中最大的等邊三角形．
【問(wèn)題探究】
如圖4，小穎認(rèn)為正方形中最大等邊三角形的頂點(diǎn)一定落在正方形的邊上，她將圖4的△PRQ沿AB進(jìn)行平移，使點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合（如圖5），再將△PRB繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使PR與對(duì)角線(xiàn)BD垂直，延長(zhǎng)BR，BP分別交CD，AD于點(diǎn)E和F（如圖6），連接EF，便可得到如圖7的最大等邊三角形BEF．設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2．
（2）小麗利用對(duì)稱(chēng)的思想，即△BEF關(guān)于直線(xiàn)BD對(duì)稱(chēng)，從而求得∠ABF=90°-∠EBF2=15°，則BF=26-2226-22．（sin15°=6-24，cos15°=6+24，tan15°=2-3）
（3）若不知道15°角的三角函數(shù)值，請(qǐng)你換一種方法求BF的長(zhǎng)．
【問(wèn)題解決】
（4）如圖8，已知正六邊形中最大的等邊三角形邊長(zhǎng)為4，則該正六邊形的邊長(zhǎng)為 433433．
【拓廣應(yīng)用】
（5）A4紙的長(zhǎng)為29.7cm,寬為21cm,現(xiàn)要在A4紙中剪一個(gè)最大等邊三角形．請(qǐng)你在圖9中畫(huà)出示意圖（不需尺規(guī)作圖），并求該最大等邊三角形的邊長(zhǎng)．
∠
ABF
=
90
°
-
∠
EBF
2
=
15
°
6
2
6
2
sin
15
°=
6
-
2
4
cos
15
°=
6
+
2
4
3
4
3
3
4
3
3
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】等邊；2-2；
6
2
4
3
3
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：285引用：2難度：0.1
相似題
-
1．探究問(wèn)題：
（1）方法感悟：
如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠EAF=45°，連接EF，求證DE+BF=EF．
感悟解題方法，并完成下列填空：
證明：延長(zhǎng)CB到G，使BG=DE，連接AG，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABG=∠D=90°，
∴△ADE≌△ABG．
∴AG=AE，∠1=∠2；
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠．
又AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌．
∴FG=EF，
∵FG=FB+BG，
又BG=DE，
∴DE+BF=EF．
變化：在圖①中，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，請(qǐng)直接寫(xiě)出AM和AB的數(shù)量關(guān)系 ；
（2）方法遷移：
如圖②，將Rt△ABC沿斜邊AC翻折得到Rt△ADC，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點(diǎn)，∠EAF=∠BAD，連接EF，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，試猜想DF，BE，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．試猜想AM與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．12
（3）問(wèn)題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，E，F(xiàn)分別為DC，BC上的點(diǎn)，滿(mǎn)足∠EAF=∠DAB，試猜想當(dāng)∠B與∠D滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí)，可使得DE+BF=EF．請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想（不必說(shuō)明理由）．猜想：∠B與∠D滿(mǎn)足關(guān)系：．12發(fā)布：2025/6/24 19:0:1組卷：881引用：1難度：0.1 -
2．已知△ABC是等邊三角形，四邊形ADEF是菱形，∠ADE=120°（AD＞AB）．
（1）如圖①，當(dāng)AD與邊BC相交，點(diǎn)D與點(diǎn)F在直線(xiàn)AC的兩側(cè)時(shí)，BD與CF的數(shù)量關(guān)系為．
（2）將圖①中的菱形ADEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°），如圖②．
Ⅰ．判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)利用圖②證明你的結(jié)論．
Ⅱ．若AC=4，AD=6，當(dāng)△ACE為直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出CE的長(zhǎng)度．發(fā)布：2025/6/25 7:30:2組卷：365引用：4難度：0.1 -
3．如圖，四邊形ABCD是正方形，E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)是正方形ABCD外一點(diǎn)，連接BE、CE、DE、BF、CF、EF．
（1）若∠EDC=∠FBC，ED=FB，試判斷△ECF的形狀，并說(shuō)明理由．
（2）在（1）的條件下，當(dāng)BE：CE=1：2，∠BEC=135°時(shí)，求BE：BF的值．
（3）在（2）的條件下，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為（3+3）cm,∠EDC=30°，求△BCF的面積．7發(fā)布：2025/6/24 17:30:1組卷：59引用：1難度：0.5