已知菱形ABCD的邊長為4．∠ADC=60°，等邊△AEF兩邊分別交邊DC，CB于點E，F．
（1）特殊發現：如圖1，若點E，F分別是邊DC，CB的中點．求證：菱形ABCD對角線AC，BD的交點O即為等邊△AEF的外心；
（2）若點E，F始終分別在邊DC，CB上移動，等邊△AEF的外心為點P．
①猜想驗證：如圖2．猜想△AEF的外心P落在哪條直線上，并加以證明；
②學以致用：如圖3，當△AEF的面積最小時，過點P任作一直線分別交邊DA于點M，交邊DC的延長線于點N，求1DM+1DN的值．
1
DM
+
1
DN
【考點】圓的綜合題．
【答案】（1）證明見解析；（2）①外心P一定落在直線DB上，理由見解析；②．
1
2
【解答】
【點評】
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發布：2024/5/16 8:0:9組卷：51引用：1難度：0.3
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1．如圖，AB是圓O的直徑，弦CD與AB交于點H，∠BDC=∠CBE．
（1）求證：BE是圓O的切線；
（2）若CD⊥AB，AC=2，BH=3，求劣弧BC的長；
（3）如圖，若CD∥BE，作DF∥BC，滿足BC=2DF，連接FH、BF，求證：FH=BF．發布：2025/1/28 8:0:2組卷：100引用：1難度：0.1 -
2．如圖，AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB于G，射線DO與直線CE相交于點E，直線DB與CE交于點H，且∠BDC=∠BCH．
（1）求證：直線CE是圓O的切線．
（2）如圖1，若OG=BG，BH=1，直接寫出圓O的半徑；
（3）如圖2，在（2）的條件下，將射線DO繞D點逆時針旋轉，得射線DM，DM與AB交于點M，與圓O及切線CF分別相交于點N，F，當GM=GD時，求切線CF的長．
發布：2025/1/28 8:0:2組卷：782引用：2難度：0.1 -
3．如圖，AB是圓O的直徑，AB=6，D是半圓ADB上的一點，C是弧BD的中點．
（1）若∠ABD=30°，求BC的長和由弦BC、BD、和弧CD圍成的圖形面積；
（2）若弧AD的度數是120度，在半徑OB上是否存在點P，使得PC+PD的值最小，如果存在，請在備用圖中畫出P的位置，并求PC+PD的最小值，如果不存在，請說明理由．
發布：2025/1/28 8:0:2組卷：44引用：0難度：0.3