如圖，拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點A（-1，0）、B（3，0）與y軸交于點C，頂點為D．以AB為直徑在x軸上方畫半圓交y軸于點E，圓心為I，P是半圓上一動點，連接DP，點Q為PD的中點．
（1）試用含a的代數(shù)式表示c；
（2）若IQ⊥PD恒成立，求出此時該拋物線解析式；
（3）在（2）的條件下，當點P沿半圓從點B運動至點A時，點Q的運動軌跡是什么，試求出它的路徑長．
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）c=-3a；
（2）；
（3）點Q在以DI中點為圓心的半圓上運動，點Q的路徑長為π．
（2）
y
=
1
2
x
2
-
x
-
3
2
（3）點Q在以DI中點為圓心的半圓上運動，點Q的路徑長為π．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：607引用：2難度：0.1
相似題
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1．在平面直角坐標系中，若對于任意兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），都有x1+x2=y1+y2，則稱A、B兩點互為“友好點”．
（1）已知點A（1，4），若B（2，1）、C（0，-3）、D（2，-2），則點A的“友好點”是 ；
（2）若A（1，4）、P（m,n）都在雙曲線上，且A、P兩點互為“友好點”．請求出點P的坐標；y=kx
（3）已知拋物線y=ax2+2bx+3c（a≠0，a,b,c為常數(shù)）．頂點為D點，與x軸交于A、B兩點，與直線y=bx+2c交于P、Q兩點．若滿足①拋物線過點（0，-3）；②△DAB為等邊三角形；③P、Q兩點互為“友好點”．求（b-a-199c）的值．發(fā)布：2025/6/3 16:30:1組卷：859引用：3難度：0.2 -
2．定義：若二次函數(shù)y=a1（x-h）2+k的圖象記為C1，其頂點為A（h,k），二次函數(shù)y=a2（x-k）2+h的圖象記為C2，其頂點為B（k,h），我們稱這樣的兩個二次函數(shù)互為“反頂二次函數(shù)”．
分類一：若二次函數(shù)C1：y=a1（x-h）2+k經過C2的頂點B，且C2：y=a2（x-k）2+h經過C1的頂點A，我們就稱它們互為“反頂伴侶二次函數(shù)”．
（1）所有二次函數(shù)都有“反頂伴侶二次函數(shù)”是 命題．（填“真”或“假”）
（2）試求出y=x2-4x+5的“反頂伴侶二次函數(shù)”．
（3）若二次函數(shù)C1與C2互為“反頂伴侶二次函數(shù)”，試探究a1與a2的關系，并說明理由．
分類二：若二次函數(shù)C1：y=a1（x-h）2+k可以繞點M旋轉180°得到二次函數(shù)C2：y=a2（x-k）2+h,我們就稱它們互為“反頂旋轉二次函數(shù)”．
①任意二次函數(shù)都有“反頂旋轉二次函數(shù)”是 命題．（填“真”或“假”）
②互為“反頂旋轉二次函數(shù)”的對稱中心點M有什么特點？
③如圖，C1，C2互為“反頂旋轉二次函數(shù)”，點E，F(xiàn)的對稱點分別是點Q，G，且EF∥GQ∥x軸，當四邊形EFQG為矩形時，試探究二次函數(shù)C1，C2的頂點有什么關系．并說明理由．發(fā)布：2025/6/3 17:30:2組卷：129引用：1難度：0.1 -
3．如圖，拋物線y=ax2+bx經過點A（4，0），B（2，2）．連接OB，AB．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求證：△OAB是等腰直角三角形；
（3）將△OAB繞點O按順時針方向旋轉135°得到△OA′B′，寫出△OA′B′的邊A′B′的中點P的坐標．試判斷點P是否在此拋物線上，并說明理由．發(fā)布：2025/6/3 16:0:1組卷：356引用：28難度：0.5