如圖，四邊形ABCD中，AB=AD=4，CB=CD=3，∠ABC=∠ADC=90°，點M、N是邊AB、AD上的動點，且∠MCN=12∠BCD，CM、CN與對角線BD分別交于點P、Q．
（1）求sin∠MCN的值；
（2）當DN=DC時，求∠CNM的度數；
（3）試問：在點M、N的運動過程中，線段PQMN的比值是否發生變化？如不變，請求出這個值；如變化，請至少給出兩個可能的值，并說明點N相應的位置．
1
2
PQ
MN
【考點】四邊形綜合題．
【答案】（1）．
（2）45°．
（3）．
4
5
（2）45°．
（3）
3
5
【解答】
【點評】
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發布：2025/6/10 13:0:2組卷：1113引用：6難度：0.1
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1．已知：在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，點P為菱形內一點，且∠BPC=60°．
（1）如圖1，當點P在菱形對角線BD上時，求BP的長；
（2）如圖2，點M在線段BP上，點N在線段CP上，且BM=CN，連接CM，MN，若∠CMN=30°，求CM2+MN2的值；
（3）如圖3，延長CP交BA延長線于點E，連接AP并延長交BC延長線于點F．
①求證：EA?BF=EB?AD；
②判斷PE?PF是否有最大值？若有，請直接寫出最大值；若沒有，請說明理由．發布：2025/6/11 7:30:2組卷：329引用：3難度：0.2 -
2．如圖，平行四邊形ABCD中，連接對角線BD，∠ABD=30°，E為平行四邊形外部一點，連接AE、BE、DE，若AE=BE，∠DAE=60°．
（1）如圖1，若∠C=45°，BC=2，求AB的長；
（2）求證：DE=BC；
（3）如圖2，若∠BCD=15°，連接CE，延長CB與DE交于點F，連接AF，直接寫出（）2的值．AFBF
發布：2025/6/11 10:0:1組卷：318引用：2難度：0.3 -
3．如圖1，點E在正方形ABCD的邊BC上，連接AE，以點A為旋轉中心逆時針旋轉90°，點E正好落在CD的延長線上，記為點F．
（1）求證：BE=DF；
（2）如圖2，點H是EF的中點，連接AH并且延長交CD于點G，連接BH．
①若DF=2，CE=4，求CG的長；
②求證：BE=BH-AB．2發布：2025/6/11 8:0:2組卷：69引用：1難度：0.4