如圖，拋物線 y=ax2+bx+3 經過A（-1，0）、B（3，0）兩點，交y軸于C，對稱軸與拋物線相交于點P、與BC相交于點E，與x軸交于點H，連接PB．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）拋物線上是否存在一點Q，使△QPB與△EPB的面積相等，若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，說明理由；
（3）拋物線上存在一點G，使∠GBA+∠PBE=45°，請求出點G的坐標．
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）y=-x2+2x+3；
（2）（2-，2）或（2+，-2）；
（3）（-，-）或（-，）．
（2）（2-
3
3
3
3
（3）（-
3
2
9
4
1
2
7
4
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/28 8:51:19組卷：240引用：1難度：0.1
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1．在平面直角坐標系中，若對于任意兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），都有x1+x2=y1+y2，則稱A、B兩點互為“友好點”．
（1）已知點A（1，4），若B（2，1）、C（0，-3）、D（2，-2），則點A的“友好點”是 ；
（2）若A（1，4）、P（m,n）都在雙曲線上，且A、P兩點互為“友好點”．請求出點P的坐標；y=kx
（3）已知拋物線y=ax2+2bx+3c（a≠0，a,b,c為常數）．頂點為D點，與x軸交于A、B兩點，與直線y=bx+2c交于P、Q兩點．若滿足①拋物線過點（0，-3）；②△DAB為等邊三角形；③P、Q兩點互為“友好點”．求（b-a-199c）的值．發布：2025/6/3 16:30:1組卷：859引用：3難度：0.2 -
2．定義：若二次函數y=a1（x-h）2+k的圖象記為C1，其頂點為A（h,k），二次函數y=a2（x-k）2+h的圖象記為C2，其頂點為B（k,h），我們稱這樣的兩個二次函數互為“反頂二次函數”．
分類一：若二次函數C1：y=a1（x-h）2+k經過C2的頂點B，且C2：y=a2（x-k）2+h經過C1的頂點A，我們就稱它們互為“反頂伴侶二次函數”．
（1）所有二次函數都有“反頂伴侶二次函數”是 命題．（填“真”或“假”）
（2）試求出y=x2-4x+5的“反頂伴侶二次函數”．
（3）若二次函數C1與C2互為“反頂伴侶二次函數”，試探究a1與a2的關系，并說明理由．
分類二：若二次函數C1：y=a1（x-h）2+k可以繞點M旋轉180°得到二次函數C2：y=a2（x-k）2+h,我們就稱它們互為“反頂旋轉二次函數”．
①任意二次函數都有“反頂旋轉二次函數”是 命題．（填“真”或“假”）
②互為“反頂旋轉二次函數”的對稱中心點M有什么特點？
③如圖，C1，C2互為“反頂旋轉二次函數”，點E，F的對稱點分別是點Q，G，且EF∥GQ∥x軸，當四邊形EFQG為矩形時，試探究二次函數C1，C2的頂點有什么關系．并說明理由．發布：2025/6/3 17:30:2組卷：129引用：1難度：0.1 -
3．如圖，拋物線y=ax2+bx經過點A（4，0），B（2，2）．連接OB，AB．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求證：△OAB是等腰直角三角形；
（3）將△OAB繞點O按順時針方向旋轉135°得到△OA′B′，寫出△OA′B′的邊A′B′的中點P的坐標．試判斷點P是否在此拋物線上，并說明理由．發布：2025/6/3 16:0:1組卷：356難度：0.5
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