2011年九年級數學學業水平競賽題

一、解答題（共13小題，滿分120分）

• 1．如圖，△ABC中，D、E分別是AC、AB上的點，BD與CE交于點O．給出下列三個條件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．
  （1）上述三個條件中，哪兩個條件

  可判定△ABC是等腰三角形（用序號寫出所有情形）；
  （2）選擇第（1）小題中的一種情形，證明△ABC是等腰三角形．
  組卷：264引用：22難度：0.7

  解析

• 2．如圖，矩形ABCD中，M是AD的中點．
  （1）求證：△ABM≌△DCM；
  （2）請你探索，當矩形ABCD中的一組鄰邊滿足何種數量關系時，有BM⊥CM成立，說明你的理由．
  組卷：57引用：2難度：0.5

  解析

• 3．如圖所示，二次函數的圖象與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，點C、D是二次函數圖象上的一對對稱點，一次函數的圖象過點B、D．
  （1）求D點的坐標和一次函數、二次函數的解析式；
  （2）根據圖象寫出使一次函數值大于二次函數值的x的取值范圍．
  組卷：60引用：4難度：0.3

  解析

• 4．如圖所示的平面直角坐標系中，有一條拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，已知拋物線的對稱軸為直線x=1，B（3，0），C（0，-3）．
  （1）求二次函數y=ax²+bx+c的解析式；
  （2）在拋物線對稱軸上是否存在一點P，使點P到A、C兩點距離之和最小？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．
  組卷：121引用：1難度：0.5

  解析

一、解答題（共13小題，滿分120分）

• 12．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC邊上的高，E是BC邊上的一個動點
  （不與B，C重合），EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分別為F，G．
  （1）求證：

  EG

  AD

  =

  CG

  CD

  ；
  （2）FD與DG是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由；
  （3）當AB=AC時，△FDG為等腰直角三角形嗎？并說明理由．
  組卷：773引用：3難度：0.1

  解析

• 13．在等邊△ABC中，點D為AC上一點，連接BD，直線l與AB，BD，BC分別相交于點E，P，F，且∠BPF=60度．
  （1）如圖1，寫出圖中所有與△BPF相似的三角形，并選擇其中一對給予證明；
  （2）若直線l向右平移到圖2，圖3的位置時（其它條件不變），（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請寫出來（不證明），若不成立，請說明理由；
  （3）探究：如圖1，當BD滿足什么條件時（其它條件不變），PF=

  1

  2

  PE？請寫出探究結果，并說明理由．
  （說明：結論中不得含有未標識的字母）
  組卷：749引用：22難度：0.3

  解析