已知圓O的方程為x2+y2=1，直線l1過點A（3，0），且與圓O相切．
（1）求直線l1的方程；
（2）設圓O與x軸相交于P，Q兩點，M是圓O上異于P，Q的任意一點，過點A且與x軸垂直的直線為l2，直線PM交直線l2于點P′，直線QM交直線l2于點Q′．求證：以P′Q′為直徑的圓C總經過定點，并求出定點坐標．
【考點】直線和圓的方程的應用．
【答案】（1）或；
（2）圓C經過定點坐標．
證明：對于圓O的方程x2+y2=1，令x=±1，即P（-1，0），Q（1，0）．
又直線l2方程為x=3，設M（s，t），則直線PM方程為．
解方程組
，得，
同理可得：．
所以圓C的圓心C的坐標為，半徑長為，
又點M（s，t）在圓上，又s2+t2=1．故圓心C為，半徑長．
所以圓C的方程為，
即=0
即，
又s2+t2=1
故圓C的方程為，
令y=0，則（x-3）2=8，
所以圓C經過定點，y=0，則x=，
所以圓C經過定點且定點坐標為．
2
x
-
4
y
-
3
2
=
0
2
x
+
4
y
-
3
2
=
0
（2）圓C經過定點坐標
（
3
±
2
2
，
0
）
證明：對于圓O的方程x2+y2=1，令x=±1，即P（-1，0），Q（1，0）．
又直線l2方程為x=3，設M（s，t），則直線PM方程為
y
=
t
s
+
1
（
x
+
1
）
解方程組
x = 3 |
y = t s + 1 （ x + 1 ） |
P
/
（
3
，
4
t
s
+
1
）
同理可得：
Q
/
（
3
，
2
t
s
-
1
）
所以圓C的圓心C的坐標為
（
3
，
3
st
-
t
s
2
-
1
）
|
st
-
3
t
s
2
-
1
|
又點M（s，t）在圓上，又s2+t2=1．故圓心C為
（
3
，
1
-
3
s
t
）
|
3
-
s
t
|
所以圓C的方程為
（
x
-
3
）
2
+
（
y
-
1
-
3
s
t
）
2
=
（
3
-
s
t
）
2
即
（
x
-
3
）
2
+
y
2
-
2
（
1
-
3
s
）
y
t
+
（
1
-
3
s
）
2
t
2
-
（
3
-
s
）
2
t
2
即
（
x
-
3
）
2
+
y
2
-
2
（
1
-
3
s
）
y
t
+
8
（
s
2
-
1
）
t
2
=
0
又s2+t2=1
故圓C的方程為
（
x
-
3
）
2
+
y
2
-
2
（
1
-
3
s
）
y
t
-
8
=
0
令y=0，則（x-3）2=8，
所以圓C經過定點，y=0，則x=
3
±
2
2
所以圓C經過定點且定點坐標為
（
3
±
2
2
，
0
）
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：289引用：20難度：0.3
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