已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心率為12，且橢圓經過點（1，32）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設P是圓x2+y2=7上任一點，由P引橢圓兩條切線PA，PB當切線斜率存在時，求證兩條切線斜率的積為定值．
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
1
2
（
1
，
3
2
）
【考點】橢圓的幾何特征．
【答案】（1）．
（2）設P（x0，y0），過點P的切線方程為y-y0=k（x-x0），
代入橢圓方程，可得（3+4k2）x2+8k（y0-kx0）x+4（kx0-y0）2-12=0，
∵直線與橢圓相切，
∴Δ=[8k（y0-kx0）]2-4（3+4k2）[4（kx0-y0）2-12]=0，
∴（4-）k2+6x0y0k+3-=0
∴k1k2=，
∵點P在圓O上，
∴+=7，即=7-，
∴k1×k2==-1．
∴兩條切線斜率的積為定值-1．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（2）設P（x0，y0），過點P的切線方程為y-y0=k（x-x0），
代入橢圓方程，可得（3+4k2）x2+8k（y0-kx0）x+4（kx0-y0）2-12=0，
∵直線與橢圓相切，
∴Δ=[8k（y0-kx0）]2-4（3+4k2）[4（kx0-y0）2-12]=0，
∴（4-
x
2
0
y
2
0
∴k1k2=
3
-
y
0
2
4
-
x
0
2
∵點P在圓O上，
∴
x
2
0
y
2
0
y
2
0
x
2
0
∴k1×k2=
3
-
（
7
-
x
0
2
）
4
-
x
0
2
∴兩條切線斜率的積為定值-1．
【解答】
【點評】
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發布：2024/8/14 3:0:1組卷：230引用：3難度：0.6
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