下面是某數學興趣小組探究用不同方法作一條線段的垂直平分線討論片段，請仔細閱讀，并完成相應的任務．
活動探究：小明：如圖①，可以用尺規作圖；
①分別以點A，B為圓心，以大于12AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點；
②作直線CD，CD就是所求作的直線．
小剛：我認為小明的作圖方法很好，但是這四條弧可以半徑不一樣，如圖②；
①分別以點A，B為圓心，以大于12AB的長為半徑作弧，兩弧在AB的上方相交于P；
②分別以點A，B為圓心，改變半徑的大小，仍保證大于12AB的長為半徑作弧，兩弧在AB的下方相交于Q；
③作直線PQ．PQ就是所求作的直線．
……
（1）小剛作圖得到的直線PQ是線段AB的垂直平分線嗎？請作出判斷，并說明理由．
拓展應用：（2）如圖③，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，分別以A，D為圓心，以大于12AD的長為半徑作弧，兩弧相交于點M，N，作直線MN，分別交AB，AD，AC于點E，O，F，連接DE，DF．求證：四邊形AEDF是菱形．
問題解決：（3）小剛在作圖中發現（如圖④所示），像這樣滿足PA=PB，QA=QB的有兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形．如圖⑤在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，點M，N分別在邊AB，AC上，當以M，N，B，C為頂點的四邊形是箏形時，請直接寫出MN的長．
1
2
AB
1
2
AB
1
2
1
2
【考點】四邊形綜合題．
【答案】（1）直線PQ是線段AB的垂直平分線，理由見解答；
（2）證明見解答；
（3）MN的長為或．
（2）證明見解答；
（3）MN的長為
15
7
3
2
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/28 8:0:9組卷：231引用：1難度：0.3
相似題
-
1．問題提出
（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．請在△ABC內畫一個正方形，使得這個正方形一個內角為∠C，其余頂點落在△ABC的邊上；
問題探究
（2）如圖，△ABC為一塊銳角三角形木板，其中BC=10，S△ABC=25．
如圖2，若要在△ABC中做出一個正方形，使正方形邊落在BC上，另外兩個頂點分別落在AB，AC上，則該正方形的面積為 ．
如圖3，若要在△ABC中做出一個平行四邊形，使平行四邊形一邊EF落在BC上，另兩頂點落在AB，AC上，請求出滿足條件的平行四邊形面積的最大值．
問題解決
（3）如圖4有一四邊形ABCD，AC與BD交于O，AC=10，BD=20，∠AOB=60°，現要在四邊形ABCD中截出平行四邊形EFGH，使得平行四邊形一邊EF與BD平行，四個頂點E，F，G，H落在ABCD的四邊上，當S?EFGH=S四邊形ABCD時EF=．14
發布：2025/5/25 17:30:1組卷：358引用：3難度：0.1 -
2．如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，正方形EFGH的三個頂點E，F，H分別在矩形ABCD的邊AB、BC，DA上，點G在矩形內部，連接AC，CG，現給出以下結論：
①當AE=4時，S△FGC=16；
②當S△FGC=17.5時，AE=5；
③當A，G，C三點共線時，AG：GC=2：1；
④點G到CD的距離為定值．
其中正確的是 .（寫出所有正確結論的序號）發布：2025/5/25 18:0:1組卷：333引用：2難度：0.4 -
3．【問題情境】數學課上，王老師出示了這樣一個問題：如圖1，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AB延長線上一點，且BE=AB，連接DE，交BC于點M，以DE為一邊在DE的左下方作正方形DEFG，連接AM．試判斷線段AM與DE的位置關系．
【探究展示】小明發現，AM垂直平分DE，并展示了如下的證明方法：
證明：∵BE=AB，∴AE=2AB．
∵AD=2AB，∴AD=AE．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴.（平行線分線段成比例）
∵BE=AB，
∴=1．EMDM
∴EM=DM．
即AM是△ADE的DE邊上的中線，
又∵AD=AE，
∴.（等腰三角形的“三線合一”）
∴AM垂直平分DE．
【反思交流】
（1）請將上述證明過程補充完整；
（2）小穎受到小明的啟發，繼續進行探究，如圖2，連接CE，以CE為一邊在CE的左下方作正方形CEFG，發現點G在線段BC的垂直平分線上，請你給出證明；
【拓展應用】
（3）如圖3，連接CE，以CE為一邊在CE的右上方作正方形CEFG，分別以點B，C為圓心，m為半徑作弧，兩弧交于點M，連接MF．若MF=AB=1，請直接寫出m的值．發布：2025/5/25 17:30:1組卷：266引用：2難度：0.3
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