設常數λ∈（0，1）．在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點Q滿足D1Q=λD1C1，點M、N分別為棱AD、AB上的動點（均不與頂點重合），且滿足|AN|=λ|DM|，記|DM|=a．以A為原點，分別以AB、AD與AA1的方向為x、y與z軸的正方向，建立如圖空間直角坐標系．
（1）用λ和a表示點M、N、Q的坐標；
（2）設a=12，若∠MA1N=∠AMN，求常數λ的值；
（3）記Q到平面MA1N的距離為h（a）．求證：若關于a的方程h（a）=52λ在（0，1）上恰有兩個不同的解，則這兩個解中至少有一個大于12．
D
1
Q
=
λ
D
1
C
1
|
AN
|
=
λ
|
DM
|
|
DM
|
=
a
AB
AD
A
A
1
a
=
1
2
h
（
a
）
=
5
2
λ
1
2
【考點】點、線、面間的距離計算．
【答案】（1）M（0，1-a，0），N（λa，0，0），Q（λ，1，1）．
（2）．
（3）證明見解答；
（2）
λ
=
2
11
11
（3）證明見解答；
【解答】
【點評】
聲明：本試題解析著作權屬菁優網所有，未經書面同意，不得復制發布。
發布：2024/6/27 10:35:59組卷：51引用：1難度：0.3
相似題
-
1．在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，取AB中點E，CD中點F，若沿EF將矩形AEFD折起，使得平面AEF⊥平面EFB，則AE中點Q到平面BFD的距離為．
發布：2025/1/13 8:0:2組卷：10引用：2難度：0.7 -
2．如圖AB是圓O的直徑，點C是弧AB上一點，VC垂直圓O所在平面，D，E分別為VA，VC的中點．
（1）求證：DE⊥VB；
（2）若VC=CA=6，圓O的半徑為5，求點E到平面BCD的距離．發布：2025/1/20 8:0:1組卷：9引用：2難度：0.5 -
3．如圖，在菱形ABCD中AC=1，BD=2，將△ACD沿若AC折起，使點D翻折到D'位置，連BD'，直線BD'與平面ABC所成的角為22.5°，如圖所示，若E為AB中點，過C作平面ABC的垂線l,在直線上取一點F，使EF∥平面AD'C，則CF的長為 ．發布：2025/1/28 8:0:2組卷：36引用：1難度：0.5