2021年5月，“天問一號”探測器成功在火星軟著陸，我國成為世界上第一個首次探測火星就實現“繞、落、巡”三項任務的國家。
（1）為了簡化問題，可以認為地球和火星在同一平面上繞太陽做勻速圓周運動，如圖1所示。已知地球的公轉周期為T₁，火星的公轉周期為T₂。
a.已知地球公轉軌道半徑為r₁，求火星公轉軌道半徑r₂。
b.考慮到飛行時間和節省燃料，地球和火星處于圖1中相對位置時是在地球上發射火星探測器的最佳時機，推導在地球上相鄰兩次發射火星探測器最佳時機的時間間隔Δt。
（2）火星探測器在火星附近的A點減速后，被火星捕獲進入了1號橢圓軌道，緊接著在B點進行了一次“遠火點平面機動”，俗稱“側手翻”，即從與火星赤道平行的1號軌道，調整為經過火星兩極的2號軌道，將探測器繞火星飛行的路線從“橫著繞”變成“豎著繞”，從而實現對火星表面的全面掃描，如圖2所示。以火星為參考系，質量為M₁的探測器沿1號軌道到達B點時速度為v₁，為了實現“側手翻”，此時啟動發動機，在極短的時間內噴出部分氣體，假設氣體為一次性噴出，噴氣后探測器質量變為M₂、速度變為v₁與垂直的v₂。
a.求噴出氣體速度v的大小。
b.假設實現“側手翻”的能量全部來源于化學能，化學能向動能轉化比例為k（k＜1），求此次“側手翻”消耗的化學能ΔE。