如圖1所示，半徑為r的金屬細圓環水平放置，環內存在豎直向上的勻強磁場，磁感應強度B隨時間t的變化關系為B=kt（k＞0，且為已知的常量）。
（1）已知金屬環的電阻為R．根據法拉第電磁感應定律，求金屬環的感應電動勢E感和感應電流I；
（2）麥克斯韋電磁理論認為：變化的磁場會在空間激發一種電場，這種電場與靜電場不同，稱為感生電場或渦旋電場。圖1所示的磁場會在空間產生如圖2所示的圓形渦旋電場，渦旋電場的電場線與金屬環是同心圓。金屬環中的自由電荷在渦旋電場的作用下做定向運動，形成了感應電流。渦旋電場力F充當非靜電力，其大小與渦旋電場場強E的關系滿足F=qE．如果移送電荷q時非靜電力所做的功為W，那么感應電動勢E感=Wq。
a.請推導證明：金屬環上某點的場強大小為E=12kr；
b.經典物理學認為，金屬的電阻源于定向運動的自由電子與金屬離子（即金屬原子失去電子后的剩余部分）的碰撞。在考慮大量自由電子的統計結果時，電子與金屬離子的碰撞結果可視為導體對電子有連續的阻力，其大小可表示為f=bv（b＞0，且為已知的常量）。
已知自由電子的電荷量為e,金屬環中自由電子的總數為N．展開你想象的翅膀，給出一個合理的自由電子的運動模型，并在此基礎上，求出金屬環中的感應電流I。
（3）宏觀與微觀是相互聯系的。若該金屬單位體積內自由電子數為n,請你在（1）和（2）的基礎上推導該金屬的電阻率ρ與n、b的關系式。
W
q
1
2
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：483引用：2難度：0.1
相似題
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1．靜止電荷在其周圍空間產生的電場，稱為靜電場；隨時間變化的磁場在其周圍空間激發的電場稱為感生電場
（1）如圖甲所示，真空中一個靜止的均勻帶電球體，所帶電荷量為+Q，半徑為R，靜電力常量為k。距球心r處電場強度的大小分布滿足如下關系：E=kQR3?r（r＜R）kQr2（r≥R）
①將電荷量為q的試探電荷放在距離帶電球球心2R處，求其受到的靜電力大小F1；如果該試探電荷處于距離帶電球球心處，求其受到的靜電力大小F2；R2
②在圖乙坐標系中畫出E-r圖像，并借助該圖像求出帶電球的球心與球面間的電勢差U。
（2）如圖丙所示，在紙面內以O為圓心、半徑為a的圓形區域內，分布著垂直紙面向里的磁場，磁感應強度B的大小隨時間均勻增加，變化率為k。該變化磁場激發感生電場，距圓心r處的電場強度大小分布滿足如下關系：E感=電子感應加速器是利用感生電場使電子加速的設備。一種電子感應加速器的簡化模型如圖丁所示，空間存在垂直紙面向里的磁場，在以O為圓心，半徑小于r0的圓形區域內，磁感應強度B1=k1t,在大于等于r0的環形區域內，磁感應強度B2=k2t,其中k1、k2均為正的定值。電子能在環形區域內沿半徑等于r0的圓形軌道運動，并不斷被加速。k2?r（r＜a）ka22?1r（r≥a）
①分別說明B1、B2的作用；
②推導k1與k2應滿足的數量關系。
發布：2024/6/27 10:35:59組卷：131引用：1難度：0.5 -
2．麥克斯韋的電磁場理論告訴我們：變化的磁場產生感生電場，該感生電場是渦旋電場；變化的電場也可以產生感生磁場，該感生磁場是渦旋磁場。
（1）如圖甲所示，在半徑為r的虛線邊界內有一垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小隨時間的變化關系為B=kt（k＞0且為常量）。將一半徑也為r的細金屬圓環（圖中未畫出）與虛線邊界同心放置。
①求金屬圓環內產生的感生電動勢?的大小。
②變化的磁場產生的渦旋電場存在于磁場內外的廣闊空間中，在與磁場垂直的平面內其電場線是一系列同心圓，如圖乙中的實線所示，圓心與磁場區域的中心重合。在同一圓周上，渦旋電場的電場強度大小處處相等。使得金屬圓環內產生感生電動勢的非靜電力是渦旋電場對自由電荷的作用力，這個力稱為渦旋電場力，其與電場強度的關系和靜電力與電場強度的關系相同。請推導金屬圓環位置的渦旋電場的場強大小E感。
（2）如圖丙所示，在半徑為r的虛線邊界內有一垂直于紙面向里的勻強電場，電場強度大小隨時間的變化關系為E=ρt（ρ＞0且為常量）。
①我們把穿過某個面的磁感線條數稱為穿過此面的磁通量，同樣地，我們可以把穿過某個面的電場線條數稱為穿過此面的電通量。電場強度發生變化時，對應面積內的電通量也會發生變化，該變化的電場必然會產生磁場。小明同學猜想求解該磁場的磁感應強度B感的方法可以類比（1）中求解E感的方法。若小明同學的猜想成立，請推導B感在距離電場中心為a（a＜r）處的表達式，并求出在距離電場中心和2r處的磁感應強度的比值B感1：B感2。r2
②小紅同學對上問通過類比得到的B感的表達式提出質疑，請你用學過的知識判斷B感的表達式是否正確，并給出合理的理由。
發布：2024/6/27 10:35:59組卷：302引用：3難度：0.7 -
3．在物理學中，變化量、變化率在描述各種變化過程時起著非常重要的作用。
（1）伽利略在研究自由落體運動時，考慮了兩種可能的速度變化：一種是速度隨時間均勻變化，另一種是速度隨位移均勻變化。
如圖1所示，小球做自由落體運動，A、B是運動過程中的兩個位置。從A到B的運動時間為Δt,位移為Δx,速度變化為Δv。
類比加速度的定義式a=，寫出速度隨位移的變化率ax的表達式。判斷在自由落體運動中ax是增大的還是減小的，并說明理由。ΔvΔt
（2）空間存在有一圓柱形的勻強磁場區域，其橫截面如圖2所示，磁感應強度隨時間按照圖3所示的規律均勻變化。圖中B0和t0為已知量。
a.用電阻為R的細導線做成半徑為r的圓環（圖中未畫出），圓環平面垂直于該磁場，圓環的中心與磁場中心重合。圓環半徑小于該磁場的橫截面半徑。求t=t0時磁感應強度隨時間的變化率，以及圓環中的電流。ΔBΔt
b.上述導體圓環中產生的電流，實際是導體中的自由電荷在感生電場力的作用下做定向運動，而且自由電荷受到感生電場力的大小可以根據電動勢的定義和法拉第電磁感應定律推導出來。
現將導體圓環替換成一個用絕緣細管做成的半徑為r的封閉圓形管道，且圓形管道的中心與磁場區域的中心重合（圖中未畫出）。管道內有一小球，小球質量為m,帶電量為+q.忽略小球的重力和一切阻力。t=0時小球靜止。求t=t0時小球的速度大小及管道對小球的彈力大小。發布：2024/6/27 10:35:59組卷：281引用：2難度：0.3