設拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，點M在拋物線C上，O為坐標原點，已知|OM|=23，|MF|=3．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過焦點F作直線l交C于A，B兩點，P為C上異于A，B的任意一點，直線PA，PB分別與C的準線相交于D，E兩點，證明：以線段DE為直徑的圓經過x軸上的兩個定點．
3
【考點】拋物線的焦點弦及焦半徑．
【答案】（1）y2=4x．
（2）證明：設直線l的方程為x=ty+1，代入y2=4x，得y2-4ty-4=0．
設點A（，y1），B（，y2），則y1+y2=4t，y1y2=-4．
設點P（，m），則
kPA==，
直線PA 的方程為y-m=（x-），
令x=-1，得y=m-（1+）=，
所以點D（-1，）．
同理，點E（-1，）．
設以線段DE為直徑的圓與x軸的交點為N（a，0），
則=（a+1，-），=（a+1，-）．
因為DN⊥EN，則?=0，
即（a+1）2+?=0，
則（a+1）2=-?=-==4，
解得a=1或a=-3．
故以線段DE為直徑的圓經過x軸上的兩個定點（1，0）和（-3，0）．
（2）證明：設直線l的方程為x=ty+1，代入y2=4x，得y2-4ty-4=0．
設點A（
y
2
1
4
y
2
2
4
設點P（
m
2
4
kPA=
y
1
-
m
y
2
1
4
-
m
2
4
4
y
1
+
m
直線PA 的方程為y-m=
4
y
1
+
m
m
2
4
令x=-1，得y=m-
4
y
1
+
m
m
2
4
m
y
1
-
4
y
1
+
m
所以點D（-1，
m
y
1
-
4
y
1
+
m
同理，點E（-1，
m
y
2
-
4
y
2
+
m
設以線段DE為直徑的圓與x軸的交點為N（a，0），
則
DN
m
y
1
-
4
y
1
+
m
EN
m
y
2
-
4
y
2
+
m
因為DN⊥EN，則
DN
EN
即（a+1）2+
m
y
1
-
4
y
1
+
m
m
y
2
-
4
y
2
+
m
則（a+1）2=-
m
y
1
-
4
y
1
+
m
m
y
2
-
4
y
2
+
m
m
2
y
1
y
2
-
4
m
（
y
1
+
y
2
）
+
16
y
1
y
2
+
m
（
y
1
+
y
2
）
+
m
2
4
m
2
+
16
mt
-
16
m
2
+
4
mt
-
4
解得a=1或a=-3．
故以線段DE為直徑的圓經過x軸上的兩個定點（1，0）和（-3，0）．
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：209引用：5難度：0.5
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