已知拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點為F，過點F垂直于y軸的直線與拋物線C相交于A，B兩點，拋物線C在A，B兩點處的切線及直線AB所圍成的三角形面積為16．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設P，M，N為拋物線上不同的三點，且PM⊥PN，求證：若P為定點，則直線MN過定點Q；并求當P點移動時，|PQ|的最小值．
【考點】直線與拋物線的綜合．
【答案】（1）x2=8y；
（2）證明：設P（m，n），M（x1，y1），N（x2，y2），
可得n=，y1=，y2=，
由PM⊥PN可得?=-1，
化為（m+x1）?（m+x2）=-1，即有x1x2=-64-m2-m（x1+x2），
又直線MN的方程為y-y1=（x-x1），
即為y-y1=（x-x1），即有y-=?x-，
即為y=?x-x1x2，
可得y=?x+8++（x1+x2），
即y=（x+m）+8+，
令x=-m，可得y=8+，
即有直線MN恒過定點Q（-m，8+），
由|PQ|==≥8，
當m=0時，|PQ|取得最小值8．
（2）證明：設P（m，n），M（x1，y1），N（x2，y2），
可得n=
m
2
8
x
1
2
8
x
2
2
8
由PM⊥PN可得
n
-
y
1
m
-
x
1
n
-
y
2
m
-
x
2
化為
1
8
1
8
又直線MN的方程為y-y1=
y
2
-
y
1
x
2
-
x
1
即為y-y1=
x
1
+
x
2
8
x
1
2
8
x
1
+
x
2
8
x
1
2
+
x
1
x
2
8
即為y=
x
1
+
x
2
8
1
8
可得y=
x
1
+
x
2
8
m
2
8
m
8
即y=
x
1
+
x
2
8
m
2
8
令x=-m，可得y=8+
m
2
8
即有直線MN恒過定點Q（-m，8+
m
2
8
由|PQ|=
（
m
+
m
）
2
+
（
8
+
m
2
8
-
m
2
8
）
2
64
+
4
m
2
當m=0時，|PQ|取得最小值8．
【解答】
【點評】
聲明：本試題解析著作權屬菁優網所有，未經書面同意，不得復制發布。
發布：2024/6/27 10:35:59組卷：33引用：3難度：0.5
相似題
-
1．拋物線x2=4y的焦點為F，準線為l,A，B是拋物線上的兩個動點，且滿足AF⊥BF，P為線段AB的中點，設P在l上的射影為Q，則
的最大值是（ ）|PQ||AB|發布：2024/12/29 5:30:3組卷：470引用：8難度：0.5 -
2．如圖，設拋物線y2=2px的焦點為F，過x軸上一定點D（2，0）作斜率為2的直線l與拋物線相交于A，B兩點，與y軸交于點C，記△BCF的面積為S1，△ACF的面積為S2，若，則拋物線的標準方程為（ ）S1S2=14發布：2024/12/17 0:0:2組卷：163引用：6難度：0.6 -
3．如圖，已知點P是拋物線C：y2=4x上位于第一象限的點，點A（-2，0），點M，N是y軸上的兩個動點（點M位于x軸上方），滿足PM⊥PN，AM⊥AN，線段PN分別交x軸正半軸、拋物線C于點D，Q，射線MP交x軸正半軸于點E．
（Ⅰ）若四邊形ANPM為矩形，求點P的坐標；
（Ⅱ）記△DOP，△DEQ的面積分別為S1，S2，求S1?S2的最大值．發布：2024/12/29 1:0:8組卷：96引用：2難度：0.4