綜合與實踐
我們知道，三角形是初中幾何學習的基本圖形之一，在總復習三角形相關知識的時候，王老師啟發學生將三角形的中線和中位線綜合到一起做了專題探究，下面是某兩個小組的探究內容．
知識儲備
由三角形中位線的性質可知，三角形中位線不僅包括了位置關系，也包括了數量關系，是平行線分線段成比例的特例，也是相似三角形的典型模型之一．
知識應用
（1）如圖①，在△ABC中，D是邊AB的中點，過點D作DE∥BC交AC于點E，當BC=10時，DE=55．
問題探究
（2）興趣小組A在探究學習時，在△ABC中，作出中線AD，BE，AD與BE交于點O，如圖②，根據中位線的性質，得到AO=23AD．請同學們結合所學證明這一結論．
（3）興趣小組B在探究三角形中的線段時，他們將圖形做了如下改動，如圖③，在△ABC中，AD是邊BC上的中線，F是AD的中點，連接BF并延長交AC于點H，則一定有AH=13AC．請結合所學證明這一結論．
2
3
1
3
【考點】相似形綜合題．
【答案】5
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/30 8:0:9組卷：275引用：3難度：0.4
相似題
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1．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在Rt△ADE中，∠DAE=90°，2AD=AB，2AE=AC，連接DE，AN⊥BC，垂足為N，AM⊥DE，垂足為M．
（1）觀察猜想
圖①中，點D，E分別在AB，AC上時，的值為 ；BDCE的值為 ．BDMN
（2）探究證明
如圖②，將△ADE繞點A順時針旋轉，旋轉角為α（0°＜α＜360°），連接BD，CE，判斷問題（1）中的數量關系是否仍然存在，并證明；
（3）拓展延伸
在△ADE旋轉的過程中，設直線CE與BD相交于點F，若∠CAE=90°，AB=6，請直接寫出線段BF的長．
發布：2025/5/23 17:0:1組卷：518引用：1難度：0.1 -
2．【實踐操作】：
第一步：如圖①，將矩形紙片ABCD沿過點D的直線折疊，使點A落在CD上的A'處，得到折痕DE，然后把紙片展平．
第二步：如圖②，將圖中的矩形紙片ABCD沿過點E的直線折疊，點C恰好落在AD上的點C'處，點B落在B'處，得到折痕EF，B'C'交AB于點M，C'F交DE于點N，再把紙片展平．
【問題解決】：
（1）如圖①，四邊形AEA'D的形狀是 ；
（2）如圖②，線段MC'與ME是否相等？若相等，請給出證明；若不相等，請說明理由；
（3）如圖②，若AC'=3cm,DC'=6cm,則MC'=，=．DNEN
發布：2025/5/23 19:0:2組卷：311引用：3難度：0.1 -
3．問題提出
（1）如圖①，在△ABC中，點D、E、F分別為邊AB、AC、BC的中點，DE∥BC，BC=8，AF交DE于點G，則DG的長為 ；
問題探究
（2）如圖②，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=4，點D為線段CB上一動點（點D不與點B、C重合），以AD為腰且在AD的右側作等腰直角△ADF，∠ADF=90°，AB與FD交于點E，連接BF，求證：△ACD∽△ABF；
問題解決
（3）如圖是郊外一空地，為了美化生態環境，現要將這塊地打造成一個公園，在空地一側挖一個四邊形的人工湖CDQP，點P、Q分別在邊AB、AD上，且滿足PB=AQ，已知AB=AD，∠ACB=∠BAD=90°，AB=500m,BC=300m,為了滿足湖周邊的建設用地需要，人工湖的面積需盡可能小，設PB的長為x（m），四邊形CDQP的面積為S（m2）．
①求S與x之間的函數關系式；
②求人工湖面積的最小值及此時AQ的長．
發布：2025/5/23 16:0:1組卷：259引用：1難度：0.3
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