已知斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓C：x24+y2=1于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點．
（1）記直線OM，ON的斜率分別為k1，k2，當3（k1+k2）=8k時，證明：直線l過定點；
（2）若直線l過點D（1，0），設△OMD與△OND的面積比為t,當k2＜512時，求t的取值范圍．
C
：
x
2
4
+
y
2
=
1
k
2
＜
5
12
【考點】與直線有關的動點軌跡方程；直線與圓錐曲線的綜合．
【答案】（1）證明：依題意可設直線l的方程為y=kx+n，其中k≠0．
代入橢圓方程得：（1+4k2）x2+8knx+4n2-4=0，
則有
．
則
=．
由條件3（k1+k2）=8k，有，而k≠0，則有，
從而直線l過定點或；
（2）2＜t＜3或．
代入橢圓方程得：（1+4k2）x2+8knx+4n2-4=0，
則有
x 1 + x 2 = - 8 kn 1 + 4 k 2 |
x 1 x 2 = 4 n 2 - 4 1 + 4 k 2 |
則
k
1
+
k
2
=
y
1
x
1
+
y
2
x
2
=
y
1
x
2
+
y
2
x
1
x
1
x
2
=
x
2
（
k
x
1
+
n
）
+
x
1
（
k
x
2
+
n
）
x
1
x
2
=
2
k
x
1
x
2
+
n
（
x
1
+
x
2
）
x
1
x
2
=
-
8
k
4
n
2
-
4
由條件3（k1+k2）=8k，有
-
24
k
4
n
2
-
4
=
8
k
n
=±
1
2
從而直線l過定點
（
0
，
1
2
）
（
0
，-
1
2
）
（2）2＜t＜3或
1
3
＜
t
＜
1
2
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：253引用：4難度：0.1
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