【教材呈現(xiàn)】以下是華師大版教材第50頁(yè)16題：
已知M是含字母x的單項(xiàng)式，要使多項(xiàng)式4x2+M+1是某個(gè)多項(xiàng)式的平方，求M．
【自主解答】解：根據(jù)兩個(gè)數(shù)和或差的平方公式，分兩種情況：
當(dāng)M為含字母x的一次單項(xiàng)式時(shí)，原式可以表示為關(guān)于x的二項(xiàng)式的平方，
∵4x2+M+1=（2x）2+M+12=（2x±1）2，
∴M=±2×2x*1=±4x；
當(dāng)M為含字母x的四次單項(xiàng)式時(shí)，原式可以表示為關(guān)于x2的二項(xiàng)式的平方，
∵4x2+M+1=M+2×2x2?1+12=（2x2+1）2，
∴M=4x4．
綜上述，M為4x或-4x或4x4．
【解后反思】
①上述解答過(guò)程得到等式：4x2±4x+1=（2x+1）2；4x4+4x2+1=（2x2+1）2
觀察等式左邊多項(xiàng)式的系數(shù)發(fā)現(xiàn)：（±4）2=4×4×1．
②結(jié)合多項(xiàng)式的因式分解又如：
16x2+24x+9=（4x+3）2；9x2-12x+4=（3x-2）2，
發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)規(guī)律：242=4×16×9，（-12）2=4×9×4．
③一般地：若關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)）是某個(gè)含x的二項(xiàng)式的平方，則其系數(shù)a、b、c一定存在某種關(guān)系．
（1）請(qǐng)你寫(xiě)出系數(shù)a、b、c之間存在的這種關(guān)系式：b2=4acb2=4ac；
【解決問(wèn)題】
（2）若多項(xiàng)式9y2+4加上一個(gè)含字母y的單項(xiàng)式N，就能表示為一個(gè)含y的二項(xiàng)式的平方，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的單項(xiàng)式N；
（3）若關(guān)于x的多項(xiàng)式x2-2（m-3）x+（m2+3m）是一個(gè)含x的多項(xiàng)式的平方，求實(shí)數(shù)m的值．
【答案】b2=4ac
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/7/7 8:0:9組卷：519引用：1難度：0.3
相似題
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1．兩位同學(xué)將一個(gè)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c分解因式時(shí)，一位同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而分解成2（x-1）（x-9），另一位同學(xué)因看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)而分解成2（x-2）（x-4）．
（1）求原來(lái)的二次三項(xiàng)式．
（2）將原來(lái)的二次三項(xiàng)式分解因式．發(fā)布：2025/6/8 15:30:1組卷：301引用：3難度：0.7 -
2．【閱讀與思考】
整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項(xiàng)式ax2+bx+c（a≠0）分解因式呢？
我們已經(jīng)知道：
（a1x+c1）（a2x+c2）=a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2=a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2．反過(guò)來(lái)，就得到：a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2=（a1x+c1）（a2x+c2）．我們發(fā)現(xiàn)，二次三項(xiàng)式ax2+bx+c（a≠0）的二次項(xiàng)的系數(shù)a分解成a1a2，常數(shù)項(xiàng)c分解成c1c2，并且把a(bǔ)1，a2，c1，c2，如圖1所示擺放，按對(duì)角線交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1，如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次項(xiàng)系數(shù)b,那么ax2+bx+c就可以分解為（a1x+c1）（a2x+c2），其中a1，c1位于圖的上一行，a2，c2位于下一行，像這種借助畫(huà)十字交叉圖分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，將式子x2-x-6分解因式的具體步驟為：首先把二次項(xiàng)的系數(shù)1分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即1=1×1，把常數(shù)項(xiàng)-6也分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即-6=2×（-3）：然后把1，1，2，-3按圖2所示的擺放，按對(duì)角線交叉相乘再相加的方法，得到1×（-3）+1×2=-1，恰好等于一次項(xiàng)的系數(shù)-1，于是x2-x-6就可以分解為（x+2）（x-3）．
請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察和思考，嘗試在圖3的虛線方框內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，并用“十字相乘法”分解因式：x2+x-6=．
【理解與應(yīng)用】
請(qǐng)你仔細(xì)體會(huì)上述方法并嘗試對(duì)下面兩個(gè)二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解因式：
（1）2x2+5x-7=；
（2）6x2-7xy+2y2=；
【探究與拓展】
對(duì)于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的關(guān)于x,y的二元二次多項(xiàng)式也可以用“十字相乘法”來(lái)分解如圖4．將a分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，如果mq+np=b,pk+pj=e,mk+nj=d,即第1，2列、第2，3列和第1，3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式=（mx+py+j）（nx+qy+k），請(qǐng)你認(rèn)真閱讀上述材料并嘗試挑戰(zhàn)下列問(wèn)題．
（1）分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-4=；
（2）若關(guān)于x,y的二元二次式x2+7xy-18y2-5x+my-24可以分解成兩個(gè)一次因式的積，求m的值．發(fā)布：2025/6/8 9:0:1組卷：263引用：1難度：0.5 -
3．把多項(xiàng)式x2+2x-8因式分解，正確的是（ ?。?/h2>
發(fā)布：2025/6/8 11:30:1組卷：605引用：3難度：0.8