已知拋物線E：x2=2py（p＞0）的焦點為F，A（2，y0）是E上一點，且|AF|=2．
（1）求E的方程；
（2）設點B是E上異于點A的一點，直線AB與直線y=x-3交于點P，過點P作x軸的垂線交E于點M，證明：直線BM過定點．
【考點】拋物線的焦點與準線．
【答案】（1）E的方程為x2=4y；
（2）證明：設B（x1，y1），M（x2，y2）．由題意，可設直線BM的方程為y=kx+b，代入x2=4y，得x2-4kx-4b=0．
由根與系數的關系．得x1+x2=4k，x1x2=-4b．③
由MP⊥x軸及點P在直線y=x-3上，得P（x2，x2-3），
則由A，P，B三點共線，得=，
整理，得（k-1）x1x2-（2k-4）x1+（b+1）x2-2b-6=0．
將③代入上式并整理，得（2-x1）（2k+b-3）=0．
由點B的任意性，得2k+b-3=0，所以y=kx+3-2k=k（x-2）+3．
即直線BM恒過定點（2，3）．
（2）證明：設B（x1，y1），M（x2，y2）．由題意，可設直線BM的方程為y=kx+b，代入x2=4y，得x2-4kx-4b=0．
由根與系數的關系．得x1+x2=4k，x1x2=-4b．③
由MP⊥x軸及點P在直線y=x-3上，得P（x2，x2-3），
則由A，P，B三點共線，得
x
2
-
4
x
2
-
2
k
x
1
+
b
-
1
x
1
-
2
整理，得（k-1）x1x2-（2k-4）x1+（b+1）x2-2b-6=0．
將③代入上式并整理，得（2-x1）（2k+b-3）=0．
由點B的任意性，得2k+b-3=0，所以y=kx+3-2k=k（x-2）+3．
即直線BM恒過定點（2，3）．
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：637引用：8難度：0.6