物理現象的分析常常有宏觀與微觀兩個視角，建構合理化模型找出其內在聯系，有助于更加深刻理解其物理本質。

（1）如圖甲所示，直流電源、開關、導線與金屬棒ab組成一個電路。從微觀角度看，開關閉合時，電源兩端電壓會在金屬棒內部形成恒定電場，每個自由電子都在電場力作用下開始定向運動，但這些電子會與導體棒中的金屬正離子發生碰撞，碰撞后電子向各方向運動的機會相同，沿導線方向的定向運動速度變為0；此后自由電子再加速、再碰撞……，這種定向運動在宏觀上形成了電流。已知電源兩端電壓為U，金屬棒的長度為L，橫截面積為S，單位體積內自由電子數為n,電子的質量為m,電荷量為e,連續兩次碰撞間隔的平均時間為t₀，碰撞時間不計。僅在自由電子和金屬正離子碰撞時才考慮粒子間的相互作用，導線及開關的電阻不計。
a.求自由電子定向運動時的加速度大小a；
b.求t₀時間內自由電子定向運動的平均速率v₀；
c.推導金屬棒中形成電流I的表達式。
（2）某同學受磁流體發電機的啟發，設計了一種新型發電裝置。如圖乙所示，將發電裝置、開關、導線與電阻組成一個電路，這種新型發電裝置可視為直流電源。從微觀角度看，兩面積足夠大的平行金屬極板A、C間有一個垂直紙面向里，磁感應強度為B的勻強磁場，將一束帶正電的離子流以速度v沿垂直于B的方向噴入磁場，帶正電的離子在洛倫茲力作用下向A極板偏轉，由于靜電感應在C極板上感應出等量的負電荷。宏觀上A、C兩板間產生電勢差，可為阻值為R的外電阻供電。已知每個離子的質量均為m,電荷量為+q,單位時間內沿垂直極板方向上單位長度噴射的正離子個數為n,A、C兩板間距為d,且d大于

2

mv

q

B

。忽略離子的重力及離子間的相互作用力。
a.只閉合開關S₁外電路短路，求短路電流I_m；
b.只閉合開關S₂，電路中電流穩定后，若單位時間內打在極板A上的離子數為N，請寫出N與R的關系式。