在平面直角坐標系xoy中，設二次函數f（x）=x2+4x+b（x∈R）的圖象與兩坐標軸有三個不同的交點．經過這三個交點的圓記為C．
（1）求實數b的取值范圍；
（2）求圓C的方程；
（3）問圓C是否經過某定點（其坐標與b無關）？請證明你的結論．
【考點】圓的標準方程；二次函數的性質與圖象．
【答案】（1）b＜4且b≠0．
（2）x2+y2+4x-（b+1）y+b=0．
（3）經過定點；圓C必過定點，證明如下：
假設圓C過定點（x0，y0）（x0，y0不依賴于b），將該點的坐標代入圓C的方程，
并變形為++4x0-y0+b（1-y0）=0（*）
為使（*）式對所有滿足b＜4（b≠0）的b都成立，必須有1-y0=0，結合（*）式得++4x0-y0=0，解得
或
經檢驗知，（-4，1）和（0，1）均在圓C上，因此圓C過定點（-4，1）和（0，1）．
（2）x2+y2+4x-（b+1）y+b=0．
（3）經過定點；圓C必過定點，證明如下：
假設圓C過定點（x0，y0）（x0，y0不依賴于b），將該點的坐標代入圓C的方程，
并變形為
x
2
0
y
2
0
為使（*）式對所有滿足b＜4（b≠0）的b都成立，必須有1-y0=0，結合（*）式得
x
2
0
y
2
0
x 0 = 0 |
y 0 = 1 |
x 0 = - 4 |
y 0 = 1 |
經檢驗知，（-4，1）和（0，1）均在圓C上，因此圓C過定點（-4，1）和（0，1）．
【解答】
【點評】
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發布：2024/8/14 6:0:3組卷：80引用：2難度：0.9