綜合與實踐
綜合實踐課上，老師讓同學們以“三角形紙片的折疊”為主題開展數學活動，類比探究一種特殊四邊形的定義、性質、判定和應用．
【操作發現】
對折△ABC（AB＞AC），使點C落在邊AB上的點E處，得到折痕AD，把紙片展平，如圖1．小明發現四邊形AEDC滿足：AE=AC，DE=DC．查閱相關資料得知，像這樣的有兩組鄰邊分別相等的四邊形叫作“箏形”．
【類比探究】
借助學習幾何圖形的經驗，通過觀察、實驗、歸納、類比、猜想、證明等方法，小宛同學對“箏形”的性質和判定方法進行了探究．
請根據示例圖形，對比表格內容完成相關問題．
| 四邊形 | 示例圖形 | 對稱性 | 邊 | 角 | 對角線 |
| 平行 四邊形 |
|
是中心對稱圖形 | 兩組對邊分別平行，兩組對邊分別相等． | 兩組對角分別相等 | 對角線互相平分． |
| 菱形 |
|
① | 兩組鄰邊分別相等 | 有一組對角相等 | ② |
①
是中心對稱圖形也是軸對稱圖形
是中心對稱圖形也是軸對稱圖形
；②對角線互相垂直平分
對角線互相垂直平分
；（2）證明箏形有關對角線的性質．
已知：如圖2，在箏形AEDC中，AE=AC，DE=DC，對角線AD、EC交于點O．
求證：
AD⊥EC，OE=OC，∠EAO=∠CAO，∠ADE=∠ADC
AD⊥EC，OE=OC，∠EAO=∠CAO，∠ADE=∠ADC
；證明：
（3）寫出這類“箏形”的一條判定方法（除“箏形”的定義外）：
對角線平分一組對角的四邊形是“箏形”
對角線平分一組對角的四邊形是“箏形”
．【遷移應用】
（4）如圖3，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，點D、E分別是邊BC、AB上的動點，當四邊形AEDC為箏形時，直接寫出∠BDE的度數．
【考點】四邊形綜合題．
【答案】是中心對稱圖形也是軸對稱圖形；對角線互相垂直平分；AD⊥EC，OE=OC，∠EAO=∠CAO，∠ADE=∠ADC；對角線平分一組對角的四邊形是“箏形”
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/30 8:0:9組卷：181引用：3難度：0.3
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1．如圖，在菱形ABCD中，AB=10，sinB=
，點E從點B出發沿折線B-C-D向終點D運動．過點E作點E所在的邊（BC或CD）的垂線，交菱形其它的邊于點F，在EF的右側作矩形EFGH．35
（1）如圖1，點G在AC上．求證：FA=FG．
（2）若EF=FG，當EF過AC中點時，求AG的長．
（3）已知FG=8，設點E的運動路程為s.當s滿足什么條件時，以G，C，H為頂點的三角形與△BEF相似（包括全等）？
發布：2025/1/28 8:0:2組卷：2073引用：3難度：0.1 -
2．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2．過點A作對角線BD的平行線與邊CD的延長線相交于點E．P為邊BD上的一個動點（不與端點B，D重合），連接PA，PE，AC．
（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；
（2）求四邊形ABDE的周長和面積；
（3）記△ABP的周長和面積分別為C1和S1，△PDE的周長和面積分別為C2和S2，在點P的運動過程中，試探究下列兩個式子的值或范圍：①C1+C2，②S1+S2，如果是定值的，請直接寫出這個定值；如果不是定值的，請直接寫出它的取值范圍．發布：2025/1/28 8:0:2組卷：577引用：1難度：0.2 -
3．如圖，菱形ABCD中，AB=5，連接BD，sin∠ABD=
，點P是射線BC上一點（不與點B重合），AP與對角線BD交于點E，連接EC．55
（1）求證：AE=CE；
（2）當點P在線段BC上時，設BP=n（0＜n＜5），求△PEC的面積；（用含n的代數式表示）
（3）當點P在線段BC的延長線上時，若△PEC是直角三角形，請直接寫出BP的長．發布：2025/1/28 8:0:2組卷：255引用：1難度：0.1