已知圓C過點P（1，1），且與圓（x+3）2+（y+3）2=r2（r＞0）關于直線x+y+3=0對稱．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）過點P作兩條直線分別與圓C相交于點A、B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補，O為坐標原點，判斷直線OP與AB是否平行，并請說明理由．
【考點】關于點、直線對稱的圓的方程；直線與圓相交的性質．
【答案】（1）x2+y2=2．
（2）由題意可知，直線PA和直線PB的斜率存在且互為相反數，
故可設PA所在的直線方程為y-1=k（x-1），PB所在的直線方程為y-1=-k（x-1）．
由
消去y，并整理得：（k2+1）x2+2k（1-k）x+（1-k）2-2=0．①
設A（x1，y1），又已知P（1，1），則x1、1為方程①的兩相異實數根，由根與系數的關系得
．同理，若設點B（x2，y2），則可得．
于是==1．
而直線OP的斜率也是1，且兩直線不重合，因此，直線OP與AB平行．
（2）由題意可知，直線PA和直線PB的斜率存在且互為相反數，
故可設PA所在的直線方程為y-1=k（x-1），PB所在的直線方程為y-1=-k（x-1）．
由
y - 1 = k （ x - 1 ） |
x 2 + y 2 = 2 |
設A（x1，y1），又已知P（1，1），則x1、1為方程①的兩相異實數根，由根與系數的關系得
x
1
=
k
2
-
2
k
-
1
k
2
+
1
x
2
=
k
2
+
2
k
-
1
k
2
+
1
于是
k
AB
=
y
1
-
y
2
x
1
-
x
2
=
k
（
x
1
-
1
）
+
k
（
x
2
-
1
）
x
1
-
x
2
k
（
x
1
+
x
2
）
-
2
k
x
1
-
x
2
而直線OP的斜率也是1，且兩直線不重合，因此，直線OP與AB平行．
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：129引用：4難度：0.5