數學問題：計算

1

m

+

1

m

2

+

1

m

3

+…+

1

m

n

（其中m,n都是正整數，且m≥2，n≥1）．
探究問題：為解決上面的數學問題，我們運用數形結合的思想方法，通過不斷地分割一個面積為1的正方形，把數量關系和幾何圖形巧妙地結合起來，并采取一般問題特殊化的策略來進行探究．
探究一：計算

1

2

+

1

2

2

+

1

2

3

+…+

1

2

n

．
第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為

1

2

；
第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續二等分，陰影部分的面積之和為

1

2

+

1

2

2

；
第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續二等分，…；
…
第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和為

1

2

+

1

2

2

+

1

2

3

+…+

1

2

n

，最后空白部分的面積是

1

2

n

．
根據第n次分割圖可得等式：

1

2

+

1

2

2

+

1

2

3

+…+

1

2

n

=1-

1

2

n

．

探究二：計算

1

3

+

1

3

2

+

1

3

3

+…+

1

3

n

．
第1次分割，把正方形的面積三等分，其中陰影部分的面積為

2

3

；
第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續三等分，陰影部分的面積之和為

2

3

+

2

3

2

；
第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續三等分，…；
…
第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分，所有陰影部分的面積之和為

2

3

+

2

3

2

+

2

3

3

+…+

2

3

n

，最后空白部分的面積是

1

3

n

．
根據第n次分割圖可得等式：

2

3

+

2

3

2

+

2

3

3

+…+

2

3

n

=1-

1

3

n

，
兩邊同除以2，得

1

3

+

1

3

2

+

1

3

3

+…+

1

3

n

=

1

2

-

1

2

×

3

n

．

探究三：計算

1

4

+

1

4

2

+

1

4

3

+…+

1

4

n

．
（仿照上述方法，只畫出第n次分割圖，在圖上標注陰影部分面積，并寫出探究過程）

解決問題：計算

1

m

+

1

m

2

+

1

m

3

+…+

1

m

n

．
（只需畫出第n次分割圖，在圖上標注陰影部分面積，并完成以下填空）
根據第n次分割圖可得等式：

3

4

+

3

4

2

+

3

4

3

+…+

3

4

n

=1-

1

4

n

3

4

+

3

4

2

+

3

4

3

+…+

3

4

n

=1-

1

4

n

，
所以，

1

m

+

1

m

2

+

1

m

3

+…+

1

m

n

=

1

m

-

1

-

1

（

m

-

1

）

×

m

n

1

m

-

1

-

1

（

m

-

1

）

×

m

n

．
拓廣應用：計算

5

-

1

5

+

5

2

-

1

5

2

+

5

3

-

1

5

3

+…+

5

n

-

1

5

n

．