已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）經過點P（1，22），且兩焦點與短軸的一個端點構成等腰直角三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）動直線l：mx+ny+13n=0（m,n∈R）交橢圓C于A、B兩點，求證：以AB為直徑的動圓恒經過定點（0，1）．
x
2
a
2
y
2
b
2
2
2
1
3
【考點】橢圓的幾何特征．
【答案】（1）；
（2）證明：因為動直線過（0，-）點．
當l與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：x2+（y+）2=；
當l與y軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：x2+y2=1．
由
，解得x=0，y=1，
所以當l與y軸平行時以AB為直徑的圓過點（0，1）
若直線l不垂直于x軸，可設直線l：y=kx-
由
所以（18k2+9）x2-12kx-16=0，
設點A（x1，y1）、B（x2，y2）則x1+x2=，（9分）
設定點（0，1）為T，又因為=（x1，y1-1），=（x2，y2-1），
所以=x1x2+y1y2-（y1+y2）+1=（1+k2）x1x2-+=-+=0，
所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T（0，1）．
x
2
2
+
y
2
=
1
（2）證明：因為動直線過（0，-
1
3
當l與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：x2+（y+
1
3
16
9
當l與y軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：x2+y2=1．
由
x 2 + （ y + 1 3 ） 2 = 16 9 |
x 2 + y 2 = 1 |
所以當l與y軸平行時以AB為直徑的圓過點（0，1）
若直線l不垂直于x軸，可設直線l：y=kx-
1
3
由
y = kx - 1 3 |
x 2 2 + y 2 = 1 |
設點A（x1，y1）、B（x2，y2）則x1+x2=
12
k
18
k
2
+
9
x
1
x
2
=
-
16
18
k
2
+
9
設定點（0，1）為T，又因為
TA
TB
所以
TA
?
TB
4
3
k
（
x
1
+
x
2
）
16
9
-
16
（
1
+
k
2
）
18
k
2
+
9
4
3
k
12
k
18
k
2
+
9
16
9
所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T（0，1）．
【解答】
【點評】
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