已知橢圓Ω：9x2+y2=m2（m＞0），直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與Ω有兩個交點A，B，線段AB的中點為M．
（1）若m=3，點K在橢圓Ω上，F1，F2分別為橢圓的兩個焦點，求KF1?KF2的范圍；
（2）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；
（3）若l過點（m3，m），射線OM與Ω交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時l的斜率；若不能，說明理由．
K
F
1
?
K
F
2
m
3
，
m
【考點】橢圓的幾何特征．
【答案】（1）[-7，1]．
（2）設直線l的方程為：y=kx+b，（k≠0，b≠0），
聯立方程組
，消元得：（9+k2）x2+2kbx+b2-m2=0，
設A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
則x0=（x1+x2）=-，y0=kx0+b=．
∴kOM==-．
∴直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值-9．
（3）能；k=4+或k=4-．
（2）設直線l的方程為：y=kx+b，（k≠0，b≠0），
聯立方程組
y = kx + b |
9 x 2 + y 2 = m 2 |
設A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
則x0=
1
2
kb
9
+
k
2
9
b
9
+
k
2
∴kOM=
y
0
x
0
9
k
∴直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值-9．
（3）能；k=4+
7
7
【解答】
【點評】
聲明：本試題解析著作權屬菁優網所有，未經書面同意，不得復制發布。
發布：2024/7/6 8:0:9組卷：430引用：4難度：0.3
相似題
-
1．已知橢圓
=1（a＞b＞0）的一個焦點為F（2，0），橢圓上一點P到兩個焦點的距離之和為6，則該橢圓的方程為（ ）x2a2+y2b2發布：2024/12/29 12:30:1組卷：12引用：2難度：0.7 -
2．已知橢圓C的兩焦點分別為
、F1（-22，0），長軸長為6．F2（22，0）
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）求以橢圓的焦點為頂點，以橢圓的頂點為焦點的雙曲線的方程．發布：2024/12/29 11:30:2組卷：444引用：6難度：0.8 -
3．阿基米德（公元前287年-公元前212年）不僅是著名的物理學家，也是著名的數學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．若橢圓C的對稱軸為坐標軸，焦點在x軸上，且橢圓C的離心率為
，面積為8π，則橢圓C的方程為（ ）32發布：2024/12/29 12:0:2組卷：229引用：7難度：0.5