在平面直角坐標系中，O為坐標原點，Rt△ABO如圖放置，點A、B的坐標分別為（0，3）、（1，3），將此直角三角形繞點O順時針旋轉90°，得到Rt△A′B′O，若拋物線y=-x2+bx+c過點A，A′，與x軸的另一個交點為C．
（1）求點C的坐標；
（2）設拋物線的頂點為D，過點D作直線DM⊥x軸于M，P為線段BM上一動點，求以A，B，P為頂點的三角形和以C，P，M為頂點的三角形相似時點P的坐標；
（3）在拋物線上是否存在點E，使得△AA′D和△AA′E的面積相等？若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．
【考點】二次函數綜合題．
【答案】見試題解答內容
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：153引用：3難度：0.5
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1．在平面直角坐標系中，若對于任意兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），都有x1+x2=y1+y2，則稱A、B兩點互為“友好點”．
（1）已知點A（1，4），若B（2，1）、C（0，-3）、D（2，-2），則點A的“友好點”是 ；
（2）若A（1，4）、P（m,n）都在雙曲線上，且A、P兩點互為“友好點”．請求出點P的坐標；y=kx
（3）已知拋物線y=ax2+2bx+3c（a≠0，a,b,c為常數）．頂點為D點，與x軸交于A、B兩點，與直線y=bx+2c交于P、Q兩點．若滿足①拋物線過點（0，-3）；②△DAB為等邊三角形；③P、Q兩點互為“友好點”．求（b-a-199c）的值．發布：2025/6/3 16:30:1組卷：859引用：3難度：0.2 -
2．如圖，已知直線AB與拋物線C：y=ax2+2x+c相交于點A（-1，0）和點B（2，3）兩點．
（1）求拋物線C函數表達式；
（2）若點M是位于直線AB上方拋物線上的一動點，以MA、MB為相鄰的兩邊作平行四邊形MANB，當平行四邊形MANB的面積最大時，求此時平行四邊形MANB的面積S及點M的坐標；
（3）在拋物線C的對稱軸上是否存在定點F，使拋物線C上任意一點P到點F的距離等于到直線y=的距離？若存在，求出定點F的坐標；若不存在，請說明理由．174發布：2025/6/3 19:0:1組卷：2109引用：10難度：0.6 -
3．定義：若二次函數y=a1（x-h）2+k的圖象記為C1，其頂點為A（h,k），二次函數y=a2（x-k）2+h的圖象記為C2，其頂點為B（k,h），我們稱這樣的兩個二次函數互為“反頂二次函數”．
分類一：若二次函數C1：y=a1（x-h）2+k經過C2的頂點B，且C2：y=a2（x-k）2+h經過C1的頂點A，我們就稱它們互為“反頂伴侶二次函數”．
（1）所有二次函數都有“反頂伴侶二次函數”是 命題．（填“真”或“假”）
（2）試求出y=x2-4x+5的“反頂伴侶二次函數”．
（3）若二次函數C1與C2互為“反頂伴侶二次函數”，試探究a1與a2的關系，并說明理由．
分類二：若二次函數C1：y=a1（x-h）2+k可以繞點M旋轉180°得到二次函數C2：y=a2（x-k）2+h,我們就稱它們互為“反頂旋轉二次函數”．
①任意二次函數都有“反頂旋轉二次函數”是 命題．（填“真”或“假”）
②互為“反頂旋轉二次函數”的對稱中心點M有什么特點？
③如圖，C1，C2互為“反頂旋轉二次函數”，點E，F的對稱點分別是點Q，G，且EF∥GQ∥x軸，當四邊形EFQG為矩形時，試探究二次函數C1，C2的頂點有什么關系．并說明理由．發布：2025/6/3 17:30:2組卷：129引用：1難度：0.1
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