已知拋物線C：x2=-2py經過點（2，-1）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程及其準線方程；
（Ⅱ）設O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線y=-1分別交直線OM，ON于點A和點B．求證：以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點．
【考點】直線與拋物線的綜合．
【答案】（Ⅰ）拋物線C的方程為x2=-4y，準線方程為y=1；
（Ⅱ）證明：拋物線x2=-4y的焦點為F（0，-1），
設直線方程為y=kx-1，聯立拋物線方程，可得x2+4kx-4=0，
設M（x1，y1），N（x2，y2），
可得x1+x2=-4k，x1x2=-4，
直線OM的方程為y=x，即y=-x，
直線ON的方程為y=x，即y=-x，
可得A（，-1），B（，-1），
可得AB的中點的橫坐標為2（+）=2?=2k，
即有AB為直徑的圓心為（2k，-1），
半徑為=|-|=2?=2，
可得圓的方程為（x-2k）2+（y+1）2=4（1+k2），
化為x2-4kx+（y+1）2=4，
由x=0，可得y=1或-3．
則以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點（0，1），（0，-3）．
（Ⅱ）證明：拋物線x2=-4y的焦點為F（0，-1），
設直線方程為y=kx-1，聯立拋物線方程，可得x2+4kx-4=0，
設M（x1，y1），N（x2，y2），
可得x1+x2=-4k，x1x2=-4，
直線OM的方程為y=
y
1
x
1
x
1
4
直線ON的方程為y=
y
2
x
2
x
2
4
可得A（
4
x
1
4
x
2
可得AB的中點的橫坐標為2（
1
x
1
1
x
2
-
4
k
-
4
即有AB為直徑的圓心為（2k，-1），
半徑為
|
AB
|
2
1
2
4
x
1
4
x
2
16
k
2
+
16
4
1
+
k
2
可得圓的方程為（x-2k）2+（y+1）2=4（1+k2），
化為x2-4kx+（y+1）2=4，
由x=0，可得y=1或-3．
則以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點（0，1），（0，-3）．
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：4457引用：13難度：0.6
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