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已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）．
（1）若a=1，b=3，且該二次函數(shù)的圖象過點（1，1），求c的值；
（2）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，該二次函數(shù)的圖象與x軸相交于不同的兩點A（x₁，0）、B（x₂，0），其中x₁＜0＜x₂、|x₁|＞|x₂|，且該二次函數(shù)的圖象的頂點在矩形ABFE的邊EF上，其對稱軸與x軸、BE分別交于點M、N，BE與y軸相交于點P，且滿足tan∠ABE=
3
4
．
①求關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的根的判別式的值；
②若NP=2BP，令T=
1
a
2
+
16
5
c,求T的最小值．
閱讀材料：十六世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家弗朗索瓦?韋達(dá)發(fā)現(xiàn)了一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，可表述為“當(dāng)判別式Δ≥0時，關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩個根x₁、x₂有如下關(guān)系：x₁+x₂=
-
b
a
，x₁x₂=
c
a
”．此關(guān)系通常被稱為“韋達(dá)定理”．

【考點】二次函數(shù)綜合題．

【答案】（1）c=-3；
（2）①9；
②-4．

【解答】

【點評】

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發(fā)布：2025/5/22 21:30:2組卷：1313引用：2難度：0.1

相似題

1．如圖，已知過坐標(biāo)原點的拋物線經(jīng)過A（-2，0），B（-3，3）兩點，拋物線的頂點為C．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）P是拋物線在第一象限內(nèi)的動點，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點P，使得以P、M、A為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
發(fā)布：2025/5/23 2:30:1組卷：44引用：1難度：0.1
解析
2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+bx+2（a≠0）與x軸交于點A（-1，0），B（2，0），與y軸交于點C，點F是拋物線上一動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點F在第一象限運(yùn)動時，連接線段AF，BF，CF，S_△ABF=S₁，S_△CBF=S₂，且S=S₁+S₂．當(dāng)S取最大值時，求點F的坐標(biāo)；
（3）過點F作FE⊥x軸交直線BC于點D，交x軸于點E，若∠FCD+∠ACO=45°，求點F的坐標(biāo)．
發(fā)布：2025/5/23 3:0:1組卷：458引用：3難度：0.1
解析
3．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過B、C兩點，與x軸的另一個交點為A．
（1）如圖1，求b、c的值；
（2）如圖2，點P是第一象限拋物線y=-x²+bx+c上一點，直線AP交y軸于點D，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t,△ADC的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖3，在（2）的條件下，E是直線BC上一點，∠EPD=45°，△ADC的面積S為
5
4
，求E點坐標(biāo)．
發(fā)布：2025/5/23 3:0:1組卷：205引用：1難度：0.1
解析