如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，過點C作CD⊥AB于D，點P是底邊BC上任意一點（不與B、C重合），過點P作PM⊥AB，PN⊥AC，垂足為M、N，由等面積法可知S△ABC=S△APB+S△APC，即12AB?CD=12AB?PM+12AC?PN，從而可得：CD=PM+PN．即：等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離和，等于腰上的高．
（1）如圖1，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不與A和D重合的一個動點，過點P分別作AC、BD的垂線，垂足分別為E、F．求PE+PF的值；
（2）如圖2，在矩形ABCD中，點M、N分別在邊AD、BC上，將矩形ABCD沿直線MN折疊，使點D恰好與點B重合，點C落在點C′處．點P為線段MN上一動點（不與點M，N重合），過點P分別作直線BM、BC的垂線，垂足分別為E、F，以PE、PF為鄰邊作平行四邊形PEGF，若DM=13，CN=5，求平行四邊形PEGF的周長；
（3）如圖3，當點P是等邊△ABC外一點時，過點P分別作直線AB、AC、BC的垂線，垂足分別為點H1、H2、H3．若PH1-PH2+PH3=3，直接寫出△ABC的面積．
1
2
AB
?
CD
=
1
2
AB
?
PM
+
1
2
AC
?
PN
【考點】四邊形綜合題．
【答案】（1）；
（2）平行四邊形PEGF的周長為24；
（3）．
12
5
（2）平行四邊形PEGF的周長為24；
（3）
3
3
【解答】
【點評】
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發布：2024/5/8 8:0:8組卷：298引用：3難度：0.5
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1．在一次數學研究學習中，小明將兩個全等的直角三角形紙片ABC和DEF拼在一起，使點A與點F重合，點C與點D重合（如圖1），其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=6cm,AC=DF=8cm,并進行如下研究活動．
活動一：將圖1中的紙片DEF沿AC方向平移，連接AE，BD（如圖2），當點F與點C重合時停止平移．
[思考]圖2中的四邊形ABDE是平行四邊形嗎？請說明理由．
[發現]當紙片DEF平移到某一位置時，小明發現四邊形ABDE為矩形（如圖3）．求AF的長．
活動二：在圖3中，取AD的中點O，再將紙片DEF繞點O順時針方向旋轉a度（0≤a≤90），連接OB，OE（如圖4）．
[探究]當EF平分∠AEO時，探究OF與BD的數量關系，并說明理由.
發布：2025/6/9 21:0:1組卷：144引用：2難度：0.2 -
2．在數學興趣小組活動中，小明進行數學探究活動．將邊長為2的正方形ABCD與邊長為3的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一條直線上，AB與AG在同一條直線上．
（1）小明發現DG=BE且DG⊥BE，請你給出證明．
（2）如圖2，小明將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉，當點B恰好落在線段DG上時，請你幫他求出此時△ADG的面積．
發布：2025/6/9 22:0:2組卷：408引用：8難度：0.3 -
3．【證明體驗】（1）如圖（1），在△ABC中，∠ACB=2∠ABC，AD平分∠BAC交BC于D，點E在AB上，AE=AC，連結DE，求證：EB=CD．
【思考探究】（2）如圖（2），在（1）的條件下，過點C作CF∥DE交AB于點F，交AD于點G，若AB=6，AC=4，求FG的長．
【拓展延伸】（3）如圖（3），在四邊形ABCD中，∠BAC=90°，且∠ABC=∠BDC=∠ACD，若AB=4，CD=12，求BD的長．103
發布：2025/6/9 19:30:1組卷：461引用：3難度：0.3