材料1．類比是獲取數學知識的重要思想之一，很多優美的數學結論就是利用類比思想獲得的．例如：若a＞0，b＞0，則

a

+

b

2

≥

ab

，當且僅當a=b時，取等號，我們稱為二元均值不等式．類比二元均值不等式得到三元均值不等式：a＞0，b＞0，c＞0，則

a

+

b

+

c

3

≥

3

abc

，當且僅當a=b=c時，取等號．我們經常用它們求相關代數式或幾何問題的最值，某同學做下面幾何問題就是用三元均值不等式圓滿完成解答的．
題：將邊長為12cm的正方形硬紙片（如圖1）的四個角裁去四個相同的小正方形后，折成如圖2的無蓋長方體小紙盒，求紙盒容積的最大值．

解：設截去的小正方形的邊長為x（0＜x＜6），則紙盒容積V=（12-2x）²x=

1

4

（

12

-

2

x

）

（

12

-

2

x

）

（

4

x

）

≤

1

4

（

12

-

2

x

+

12

-

2

x

+

4

x

3

）

3

=128．
當且僅當12-2x=12-2x=4x,即x=2時取等號．所以紙金的容積取得最大值128cm³．在求V的最大值中，用均值不等式求最值時，遵循“一正二定三相等”的規則．你也可以將V=（12-2x）²x變形為V=（12-2x）²x=2（6-x）（6-x）（2x）求解．
你還可以設紙盒的底面邊長為a,高為b,則a+2b=12，則紙盒容積V=a²b=

1

4

aa

（

4

b

）

≤

1

4

（

a

+

a

+

4

b

3

）

3

=

1

4

×

（

2

（

a

+

2

b

）

3

）

3

=

1

4

×

（

2

×

12

3

）

3

=128．
當且僅當a=a=4b,即a=8，b=2時取等號，所以紙盒的容積取得最大值128cm³．
材料2．《數學必修二》第八章8.3節習題8.3設置了如下第4題：
如圖1，圓錐的底面直徑和高均為a,過PO的中點O₁作平行于底面的截面，以該截面為底的面挖去一個圓柱，求剩下幾何體的表面積和體積．我們稱圓柱為圓錐的內接圓柱．
根據材料1與材料2完成下列問題．
如圖2，底面直徑和高均為6cm的圓錐有一個底面半徑為R，高為H的內接圓柱．

（1）求R與H的關系式；
（2）求圓柱側面積的最大值；
（3）求圓柱體積的最大值．