我們知道，一元二次方程x²=-1沒有實數根，即不存在一個實數的平方等于-1，若我們規定一個新數“i”，使其滿足i²=-1（即方程x²=-1有一個根為i），并且進一步規定：一切實數可以與新數“i”進行四則運算，且原有運算律和運算法則仍然成立，于是有：
i=i,i²=-1，i³=i²×i=（-1）×i=-i,i⁴=（i²）²=（-1）²=1
從而對于任意正整數n,我們可以得到：i⁴ⁿ⁺¹=i⁴ⁿ×i=（i⁴）ⁿ×i=1ⁿ×i=i
同理得：i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=-i,i⁴ⁿ⁺⁴=1，則i¹+i²+i³+i⁴+…+i²⁰²¹+i²⁰²²=

i-1

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