公元1651年，法國一位著名的統計學家德梅赫（De mere）向另一位著名的數學家帕斯卡（B．Pascal）提請了一個問題，帕斯卡和費馬（Fermat）討論了這個問題，后來惠更斯（C．Huygens）也加入了討論，這三位當時全歐洲乃至全世界最優秀的科學家都給出了正確的解答．該問題如下：
設兩名賭徒約定誰先贏k（k＞1，k∈N*）局，誰便贏得全部賭注a元．每局甲贏的概率為p（0＜p＜1），乙贏的概率為1-p,且每局賭博相互獨立．在甲贏了m（m＜k）局，乙贏了n（n＜k）局時，賭博意外終止．賭注該怎么分才合理？這三位數學家給出的答案是：如果出現無人先贏k局則賭博意外終止的情況，甲、乙便按照賭博再繼續進行下去各自贏得全部賭注的概率之比P甲：P乙分配賭注．
（1）規定如果出現無人先贏k局則賭博意外終止的情況，甲、乙便按照賭博再繼續進行下去各自贏得全部賭注的概率之比P甲：P乙分配賭注．若a=243，k=4，m=2，n=1，p=23，則甲應分得多少賭注？
（2）記事件A為“賭博繼續進行下去乙贏得全部賭注”，試求當k=4，m=2，n=1時賭博繼續進行下去甲贏得全部賭注的概率f（p），并判斷當p≥34時，事件A是否為小概率事件，并說明理由．
規定：若隨機事件發生的概率小于0.05，則稱該隨機事件為小概率事件．
2
3
3
4
【考點】相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式．
【答案】（1）216元．
（2）不一定，
設賭博繼續進行X局乙贏得全部賭注，則最后一局必然乙贏．
當X=3時，乙以4：2贏，P（X=3）=（1-p）3，
當X=4時，乙以4：3贏，P（X=4）==3p（1-p）3，
所以，乙贏得全部賭注的概率為P（A）=（1-p）3+3p（1-p）3=（1+3p）（1-p）3．
∴甲贏得全部賭注的概率f（p）=1-（1+3p）（1-p）3．
求導f′（p）=-3（1-p）3-（1+3p）?3（1-p）2?（-1）=12p（1-p）2．
∵，∴f′（p）＞0，∴f（p）在[，1）上單調遞增，
于是f（p）min=f（）=，
故乙贏的概率為1-=≈0.0508＞0.05，
故事件A不一定是小概率事件．
（2）不一定，
設賭博繼續進行X局乙贏得全部賭注，則最后一局必然乙贏．
當X=3時，乙以4：2贏，P（X=3）=（1-p）3，
當X=4時，乙以4：3贏，P（X=4）=
C
1
3
p
（
1
-
p
）
3
所以，乙贏得全部賭注的概率為P（A）=（1-p）3+3p（1-p）3=（1+3p）（1-p）3．
∴甲贏得全部賭注的概率f（p）=1-（1+3p）（1-p）3．
求導f′（p）=-3（1-p）3-（1+3p）?3（1-p）2?（-1）=12p（1-p）2．
∵
3
4
≤
p
＜
1
3
4
于是f（p）min=f（
3
4
243
256
故乙贏的概率為1-
243
256
13
256
故事件A不一定是小概率事件．
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：451引用：4難度：0.4
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