已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦點為F（1，0），且點P（1，32）在橢圓C上；
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過橢圓C1：x2a2+y2b2-53=1上異于其頂點的任意一點Q作圓O：x2+y2=43的兩條切線，切點分別為M、N（M、N不在坐標軸上），若直線MN在x軸，y軸上的截距分別為m、n,證明：13m2+1n2為定值；
（3）若P1、P2是橢圓C2：x2a2+3y2b2=1上不同兩點，P1P2⊥x軸，圓E過P1、P2，且橢圓C2上任意一點都不在圓E內，則稱圓E為該橢圓的一個內切圓，試問：橢圓C2是否存在過焦點F的內切圓？若存在，求出圓心E的坐標；若不存在，請說明理由．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
3
2
x
2
a
2
+
y
2
b
2
-
5
3
4
3
1
3
m
2
+
1
n
2
x
2
a
2
+
3
y
2
b
2
=
1
【考點】橢圓的幾何特征．
【答案】（1）．
（2）證明：
由題意：C1：+=1，
設點P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），
∵M，N不在坐標軸上，∴kPM=-=-，
∴直線PM的方程為y-y2=-（x-x2），
化簡得：x2x+y2y=，①，
同理可得直線PN的方程為x3x+y3y=，②，
把P點的坐標代入①、②得
，
∴直線MN的方程為x1x+y1y=，
令y=0，得m=，令x=0得n=，
∴x1=，y1=，
又點P在橢圓C1上，
∴（）2+3（）2=4，
則+=為定值．
（3）E（-，0）．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（2）證明：
由題意：C1：
x
2
4
3
y
2
4
設點P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），
∵M，N不在坐標軸上，∴kPM=-
1
k
OM
x
2
y
2
∴直線PM的方程為y-y2=-
x
2
y
2
化簡得：x2x+y2y=
4
3
同理可得直線PN的方程為x3x+y3y=
4
3
把P點的坐標代入①、②得
x 2 x 1 + y 2 y 1 = 4 3 |
x 3 x 1 + y 3 y 1 = 4 3 |
∴直線MN的方程為x1x+y1y=
4
3
令y=0，得m=
4
3
x
1
4
3
y
1
∴x1=
4
3
m
4
3
n
又點P在橢圓C1上，
∴（
4
3
m
4
3
n
則
1
3
m
2
1
n
2
3
4
（3）E（-
3
2
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：335引用：7難度：0.5
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