如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點的直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點P為射線BD、CE的交點．
（1）如圖1，若△ABC和△ADE是等腰直角三角形，求證：CP⊥BD；
（2）如圖2，若∠ABC=∠ADE=30°，（1）中結論是否還成立？請說明理由；
（3）在（1）的條件下，AB=4，AD=3，若把△ADE繞點A旋轉，當∠EAC=90°時，請直接寫出PB的長度．
【考點】幾何變換綜合題．
【答案】（1）見解析過程；
（2）（1）中結論還成立，理由見解析過程；
（3）或．
（2）（1）中結論還成立，理由見解析過程；
（3）
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5
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【解答】
【點評】
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發布：2024/6/21 8:0:10組卷：127引用：2難度：0.3
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1．如圖1，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D為△ABC內部的一動點（不在邊上），連接BD，將線段BD繞點D逆時針旋轉60°，使點B到達點F的位置；將線段AB繞點B順時針旋轉60°，使點A到達點E的位置，連接AD，CD，AE，AF，BF，EF．
（1）求證：△BDA≌△BFE；
（2）①CD+DF+FE的最小值為 ；
②當CD+DF+FE取得最小值時，求證：AD∥BF．
（3）如圖2，M，N，P分別是DF，AF，AE的中點，連接MP，NP，在點D運動的過程中，請判斷∠MPN的大小是否為定值．若是，求出其度數；若不是，請說明理由．發布：2025/5/25 8:0:2組卷：2338引用：3難度：0.5 -
2．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3．點P從點A出發，沿折線AB-BC以每秒5個單位長度的速度向點C運動，同時點D從點C出發，沿CA以每秒2個單位長度的速度向點A運動，點P到達點C時，點P、D同時停止運動．當點P不與點A，C重合時，作點P關于直線AC的對稱點Q，連接PQ交AC于點E，連接DP、DQ．設點P的運動時間為t秒．
（1）當點P與點B重合時，求t的值；
（2）用含t的代數式表示線段CE的長；
（3）當△PDQ為等腰直角三角形時，求t的值．發布：2025/5/25 12:30:1組卷：196引用：4難度：0.3 -
3．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，將一塊三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將此三角板繞點P旋轉，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于點D、點E，圖①，②，③是旋轉得到的三種圖形．
（1）觀察線段PD和PE之間有怎樣的大小關系？并以圖②為例，并加以證明；
（2）觀察線段CD、CE和BC之間有怎樣的數量關系？并以圖③為例，并加以證明；
（3）△PBE是否能成為等腰三角形？若能，請直接寫出∠PEB的度數；若不能，請說明理由．
發布：2025/5/25 11:0:2組卷：950引用：4難度：0.2
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