【閱讀新知】19世紀英國著名文學家和歷史學家卡萊爾給出了一元二次方程x2+bx+c=0的幾何解法：如圖1，在平面直角坐標系中，已知點A（0，1）、B（-b,c），以AB為直徑作⊙P．若⊙P交x軸于點M（m,0）、N（n,0），則m、n為方程x2+bx+c=0的兩個實數根．
【探究新知】
（1）由勾股定理得，AM2=12+m2，BM2=c2+（-b-m）2，AB2=（1-c）2+b2．
在Rt△ABM中，AM2+BM2=AB2，所以12+m2+c2+（-b-m）2=（1-c）2+b2．
化簡得：m2+bm+c=0．同理可得：n2+bn+c=0n2+bn+c=0．
所以m、n為方程x2+bx+c=0的兩個實數根．
【運用新知】
（2）在圖2中的x軸上畫出以方程x2-4x-2=0兩根為橫坐標的點M、N．
（3）已知點A（0，1）、B（-10，25），以AB為直徑作⊙C．判斷⊙C與x軸的位置關系，并說明理由．
【拓展提升】
（4）在平面直角坐標系中，已知兩點A（0，a）、B（-b,c），若以AB為直徑的圓與交x軸有兩個交點M、N，則以點M、N的橫坐標為根的一元二次方程是 x2+bx+ac=0x2+bx+ac=0．
【考點】圓的綜合題．
【答案】n2+bn+c=0；x2+bx+ac=0
【解答】
【點評】
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發布：2024/9/4 7:0:9組卷：183引用：1難度：0.1
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1．如圖，AB是圓O的直徑，弦CD與AB交于點H，∠BDC=∠CBE．
（1）求證：BE是圓O的切線；
（2）若CD⊥AB，AC=2，BH=3，求劣弧BC的長；
（3）如圖，若CD∥BE，作DF∥BC，滿足BC=2DF，連接FH、BF，求證：FH=BF．發布：2025/1/28 8:0:2組卷：100引用：1難度：0.1 -
2．如圖，AB是圓O的直徑，AB=6，D是半圓ADB上的一點，C是弧BD的中點．
（1）若∠ABD=30°，求BC的長和由弦BC、BD、和弧CD圍成的圖形面積；
（2）若弧AD的度數是120度，在半徑OB上是否存在點P，使得PC+PD的值最小，如果存在，請在備用圖中畫出P的位置，并求PC+PD的最小值，如果不存在，請說明理由．
發布：2025/1/28 8:0:2組卷：44難度：0.3 -
3．如圖，AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB于G，射線DO與直線CE相交于點E，直線DB與CE交于點H，且∠BDC=∠BCH．
（1）求證：直線CE是圓O的切線．
（2）如圖1，若OG=BG，BH=1，直接寫出圓O的半徑；
（3）如圖2，在（2）的條件下，將射線DO繞D點逆時針旋轉，得射線DM，DM與AB交于點M，與圓O及切線CF分別相交于點N，F，當GM=GD時，求切線CF的長．
發布：2025/1/28 8:0:2組卷：782引用：2難度：0.1