如圖，已知經過A（1，0），B（4，0）兩點的拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點C．
（1）求此拋物線的解析式及點C的坐標；
（2）若線段BC上有一動點M（不與B、C重合），過點M作MN⊥x軸交拋物線于點N．
①求當線段MN的長度最大時點M的坐標；
②是否存在一點M，使得四邊形OCMN為菱形？若存在，求出M的坐標；若不存在，請說明理由．
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）y=x2-5x+4，C（0，4）；
（2）①M（2，2）；②不存在，理由見解析．
（2）①M（2，2）；②不存在，理由見解析．
【解答】
【點評】
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發布：2024/7/7 8:0:9組卷：385引用：6難度：0.2
相似題
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1．在平面直角坐標系xOy中（如圖），已知直線y=-x+2與y軸交于點A，拋物線
y=（x-t）2-1（t＞0）的頂點為B．
（1）若拋物線經過點A，求拋物線解析式；
（2）將線段OB繞點B順時針旋轉90°，點O落在點C處，如果點C在拋物線上，求點C的坐標；
（3）設拋物線的對稱軸與直線y=-x+2交于點D，點D位于x軸上方，如果∠BOD=45°，求t的值．發布：2025/5/22 12:30:1組卷：496引用：1難度：0.4 -
2．已知拋物線y=ax2+bx+3的圖象與x軸相交于點A和點B（1，0），與y軸交于點C，連接AC，有一動點D在線段AC上運動，過點D作x軸的垂線，交拋物線于點E，交x軸于點F，AB=4，設點D的橫坐標為m.
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接AE、CE，當△ACE的面積最大時，點D的坐標是 ；
（3）當m=-2時，在平面內是否存在點Q，使以B，C，E，Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
發布：2025/5/22 12:0:1組卷：490引用：3難度：0.2 -
3．如圖，拋物線C1：y=x2+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C．
（1）直接寫出拋物線C1的解析式；
（2）如圖（1），有一寬度為1的直尺平行于y軸，在點O，B之間平行移動，直尺兩長邊被線段BC和拋物線C1截得兩線段DE，FG．設點D的橫坐標為t,且0＜t＜2，試比較線段DE與FG的大小；
（3）如圖（2），將拋物線C1平移得到頂點為原點的拋物線C2，M是x軸正半軸上一動點，N（0，3）．經過點M的直線PQ交拋物線C2于P，Q兩點．當點M運動到某一個位置時，存在唯一的一條直線PQ，使∠PNQ=90°，求點M的坐標．發布：2025/5/22 12:0:1組卷：589引用：3難度：0.2