已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，離心率e=22，與雙曲線x2-y2=12有相同的焦點．
（I）求橢圓C的標準方程；
（II）過點F1的直線l與該橢圓C交于M、N兩點，且|F2M+F2N|=2263，求直線l的方程．
（Ⅲ）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任一條切線與橢圓C有兩個交點A、B，且OA⊥OB？若存在，寫出該圓的方程，否則，說明理由．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
2
2
x
2
-
y
2
=
1
2
F
2
M
F
2
2
26
3
【考點】橢圓的幾何特征．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）y=x+1或y=-x-1；
（Ⅲ）假設存在圓心在原點的圓使圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點
A（x1，y1），B（x2，y2）且OA⊥OB，
①當圓的切線不垂直x軸時，設該圓的切線方程為y=kx+m，
與x2+2y2=2聯立得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
∴Δ=8（2k2-m2+1）＞0，
∴，
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，
∵=x1x2+y1y2=0，
∴，
∴3m2-2k2-2=0，則2k2=3m2-2，
∴對任意k，符合條件的m滿足
，
∴，即m≥或m≤-，
∵直線y=kx+m為圓心在原點的圓的一條切線，
∴圓的半徑為r=，=，
∴所求的圓為，此時該圓的切線y=kx+m都滿足m≥或m≤-，
∴所求的圓為，
②當切線的斜率不存在時，切線x=±，
與橢圓x2+2y2=2的兩個交點為（，±）或（-，±），
滿足OA⊥OB，
綜上，存在圓心在原點的圓使圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A（x1，y1），B（x2，y2）且OA⊥OB．
x
2
2
+
y
2
=
1
（Ⅱ）y=x+1或y=-x-1；
（Ⅲ）假設存在圓心在原點的圓使圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點
A（x1，y1），B（x2，y2）且OA⊥OB，
①當圓的切線不垂直x軸時，設該圓的切線方程為y=kx+m，
與x2+2y2=2聯立得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
∴Δ=8（2k2-m2+1）＞0，
∴
x
1
+
x
2
=
-
4
km
1
+
2
k
2
，
x
1
x
2
=
2
m
2
-
2
1
+
2
k
2
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=
m
2
-
2
k
2
1
+
2
k
2
∵
OA
?
OB
∴
2
m
2
-
2
1
+
2
k
2
+
m
2
-
2
k
2
1
+
2
k
2
=
0
∴3m2-2k2-2=0，則2k2=3m2-2，
∴對任意k，符合條件的m滿足
3 m 2 - 2 ≥ 0 |
3 m 2 - 2 - m 2 + 1 ＞ 0 |
∴
m
2
≥
2
3
6
3
6
3
∵直線y=kx+m為圓心在原點的圓的一條切線，
∴圓的半徑為r=
|
m
|
1
+
k
2
r
2
=
m
2
1
+
k
2
2
3
（
k
2
+
1
）
k
2
+
1
=
2
3
∴所求的圓為
x
2
+
y
2
=
2
3
6
3
6
3
∴所求的圓為
x
2
+
y
2
=
2
3
②當切線的斜率不存在時，切線x=±
6
3
與橢圓x2+2y2=2的兩個交點為（
6
3
6
3
2
3
6
3
滿足OA⊥OB，
綜上，存在圓心在原點的圓使圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A（x1，y1），B（x2，y2）且OA⊥OB．
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：263引用：1難度：0.1
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