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試題詳情
已知直線x+y+2=0與圓心為坐標原點的圓O相切．
（1）求圓O的方程；
（2）過點P（2，2）的直線與圓O交于A，B兩點，若弦長|AB|=2305，求直線AB的斜率的值；
（3）過點Q（1，1）作兩條相異直線分別與圓O相交于M，N，且直線QM和直線QN的傾斜角互補，試著判斷向量OQ和MN是否共線？請說明理由．
2
30
5
OQ
MN
【考點】直線與圓的位置關系．
【答案】（1）x2+y2=2；
（2）k=2或k=；
（3）共線，理由如下：
由題意知，直線QM和直線QN的斜率存在，且互為相反數，
故可設QM：y-1=k1（x-1），則QN：y-1=-k1（x-1），
由
，得（1+）x2+2k1（1-k1）x+（1-k1）2-2=0．
∵點Q的橫坐標x=1一定是該方程的解，故可得．
同理可得，
∴kMN====1=kOQ，
∴向量和共線．
（2）k=2或k=
1
2
（3）共線，理由如下：
由題意知，直線QM和直線QN的斜率存在，且互為相反數，
故可設QM：y-1=k1（x-1），則QN：y-1=-k1（x-1），
由
y - 1 = k 1 （ x - 1 ） |
x 2 + y 2 = 2 |
k
1
2
∵點Q的橫坐標x=1一定是該方程的解，故可得
x
M
=
k
1
2
-
2
k
1
-
1
1
+
k
1
2
同理可得
x
N
=
k
1
2
+
2
k
1
-
1
1
+
k
1
2
∴kMN=
y
N
-
y
M
x
N
-
x
M
-
k
1
（
x
N
-
1
）
-
k
1
（
x
A
-
1
）
x
N
-
x
M
2
k
1
-
k
1
（
y
N
+
y
M
）
x
N
-
x
M
∴向量
OQ
MN
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：536引用：2難度：0.3