已知拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c為常數，a≠0）的頂點D（1，4），拋物線與x交于點A（-1，0）和B，與y軸交于點C．平面直角坐標系內有點G（2，0）和點H（0，174）．
（Ⅰ）求拋物線的解析式及點B坐標：
（Ⅱ）在拋物線的對稱軸上找一點E，使HE+AE的值最小，求點E的坐標；
（Ⅲ）若F為拋物線對稱軸上的一個定點，
①過點H作y軸的垂線l,若對于拋物線上任意一點P（m,n）都滿足P到直線l的距離與它到定點F的距離相等，求點F的坐標；
②在①的條件下，拋物線上是否存在一點P，使FP+GP最小，若存在，求出點P的坐標及FP+GP的最小值；若不存在，請說明理由．
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【考點】二次函數綜合題．
【答案】（Ⅰ）拋物線的解析式為y=-x2+2x+3，點B的坐標為（3，0）；
（Ⅱ）點E的坐標為（1，）；
（Ⅲ）①點F的坐標為（1，）；
②存在點P（2，3）使FP+GP最小，最小值為．
（Ⅱ）點E的坐標為（1，
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（Ⅲ）①點F的坐標為（1，
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②存在點P（2，3）使FP+GP最小，最小值為
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【解答】
【點評】
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發布：2024/10/8 21:0:1組卷：869引用：2難度：0.3
相似題
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1．如圖，直線與x軸、y軸分別交于點B、A，拋物線y=-x2+bx+c經過點B，與y軸交于點C（0，4）．y=-12x+2
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）點P是x軸上方拋物線上的動點，過點P作PD⊥x軸于點D，若以點P、D、B為頂點的三角形與△AOB相似，求點P的坐標．發布：2025/5/24 1:0:1組卷：358引用：2難度：0.3 -
2．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=
x2+bx+c過點A（-2，-1），B（0，-3）．12
（1）求拋物線的解析式；
（2）平移拋物線，平移后的頂點為P（m,n）（m＞0）．
ⅰ．如果S△OBP=3，設直線x=k,在這條直線的右側原拋物線和新拋物線均呈上升趨勢，求k的取值范圍；
ⅱ．點P在原拋物線上，新拋物線交y軸于點Q，且∠BPQ=120°，求點P的坐標．發布：2025/5/24 1:0:1組卷：3109引用：3難度：0.4 -
3．如圖1，拋物線y=ax2+3ax（a為常數，a＜0）與x軸交于O，A兩點，點B為拋物線的頂點，點D是線段OA上的一個動點，連接BD并延長與過O，A，B三點的⊙P相交于點C，過點C作⊙P的切線交x軸于點E．
（1）①求點A的坐標；②求證：CE=DE；
（2）如圖2，連接AB，AC，BE，BO，當，∠CAE=∠OBE時，a=-233
①求證：AB2=AC?BE；②求的值．1OD-1OE發布：2025/5/24 1:0:1組卷：575引用：1難度：0.3