如圖1，在正方形ABCD中，P是邊BC上的動點，E在△ABP的外接圓上，且位于正方形ABCD的內部，EA=EP，連結AE，EP．
（1）求證：△PAE是等腰直角三角形．
（2）如圖2，連結DE，過點E作EF⊥BC于點F，請探究線段DE與PF的數量關系，并說明理由．
（3）當P是BC的中點時，DE=2．
①求BC的長．
②若點Q是△ABP外接圓的動點，且位于正方形ABCD的外部，連結AQ．當∠PAQ與△ADE的一個內角相等時，求所有滿足條件的AQ的長．
【考點】圓的綜合題．
【答案】（1）見解析；
（2）DE=PF，理由見解析；
（3）①4；
②AQ的長是或6．
（2）DE=
2
（3）①4
2
②AQ的長是
2
5
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/30 8:0:9組卷：812引用：4難度：0.2
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1．在⊙O中，直徑AB與弦CD（非直徑）交于點E，DE=CE，弦BG⊥BC交⊙O于點G，交CD于點F．
（1）如圖1，求證：∠ABF=∠BCD；
（2）如圖2，點N為弧BD上一點，連接BN、NF，并延長NF交⊙O于點M，H為FG上一點，連接MH，BN=BF，∠HMF=∠HBN，求證：FH=GH．12發布：2025/5/24 14:30:1組卷：107引用：1難度：0.1 -
2．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=
，BC=2．23
（1）如圖①，若P為BC上由點B向點C運動的一點，連接AP，設AP的中點為G，求在點P運動的過程中，點G經過的路徑長．
（2）如圖②，若P是以AB為直徑所作半圓上由點A沿著半圓向點B運動的一點，求CP的中點F經過的路徑長．
（3）如圖③，若P為BC上由點B向點C運動的一點，連接AP，作BR⊥AP于點R，（P、R可以重合）求在點P的運動過程中，R經過的路徑長．
發布：2025/5/24 13:30:2組卷：86引用：1難度：0.3 -
3．如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以線段BC為直徑作⊙O交AC于點D，E為AB中點，連接ED，過點C作CF∥AB交ED的延長線于點F．
（1）求證：直線ED是⊙O的切線；
（2）判斷△CDF的形狀，并說明理由；
（3）如圖2，連接OF交⊙O于點P，連接BP交AC于點Q，若D為AQ中點，AB=6，求PQ的長．
發布：2025/5/24 13:30:2組卷：319引用：2難度：0.3