某數學興趣小組開展了一次課外活動，過程如下：如圖①，正方形ABCD中，AB=6，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點與D點重合．三角板的一邊交AB于點P，另一邊交BC的延長線于點Q．
（1）求證：DP=DQ；
（2）如圖②，小明在圖1的基礎上作∠PDQ的平分線DE交BC于點E，連接PE，他發現PE和QE存在一定的數量關系，請猜測他的結論并予以證明；
（3）如圖③，固定三角板直角頂點在D點不動，轉動三角板，使三角板的一邊交AB的延長線于點P，另一邊交BC的延長線于點Q，仍作∠PDQ的平分線DE交BC延長線于點E，連接PE，若AB：AP=3：4，請幫小明算出△DEP的面積．
【考點】四邊形綜合題．
【答案】見試題解答內容
【解答】
【點評】
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發布：2024/7/8 8:0:10組卷：528引用：9難度：0.3
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1．正方形ABCD的邊長為8，點E是其邊上的一點，以AE為對角線作矩形AHEG（點A、H、E、G按順時針排列），且tan∠HAE=2．
（1）如圖1，若AB與HE交于點M，當△AHM≌△EBM時，求證：EA平分∠BEG；
（2）當點G落在正方形的邊上時，求AE的長；
（3）當點E在BC上運動時，連接BG，求BG?CE的最大值．發布：2025/5/22 2:0:8組卷：203引用：2難度：0.3 -
2．如圖，在梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠D=45°，AB=BC=2cm,現有一動點Q從B點出發沿B→C→D→A的房移動到A點（含端點B和點A），設Q點經過的路程為x cm,Q經過的路線與AQ，AB圍成的封閉圖形面積為
．若點P是射線CD上一點，且y1cm2，連接AP、AC，記CP=6x．s△ACP=y2cm2
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（1）求出y1，y2與x的函數關系式，并注明x的取值范圍；
（2）在x的取值范圍內畫出y1，y2的圖象；
（3）寫出函數y1的一條性質：y1的一條性質 ；
（4）結合y1，y2的函數圖象，求出y1≥y2時，x的取值范圍．（結果保留根號）．發布：2025/5/22 2:0:8組卷：158引用：1難度：0.3 -
3．問題提出：（1）如圖1，等邊三角形ABC中，點D在邊BC上，且CD=2BD=4，DE⊥BC于D，DF⊥AC于F，則四邊形AEDF的面積為 ；
問題探究：（2）如圖2，在四邊形ABCD中，∠B=∠D，且tanB=2，∠C=90°，BC=7，DC=5，則四邊形ABCD的面積是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由；
問題解決：（3）如圖3，四邊形ABCD規劃為園林綠化區，綠化區要求∠B=∠D，∠C=60°，BC=60米，AD=2AB，為讓游人有更好的觀賞體驗，要求綠化區的面積近可能的大，請問能否設計出符合要求的綠化區？若能請求出綠化區的最大面積，若不能請說明理由．
發布：2025/5/22 2:0:8組卷：228難度：0.1