如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+6過點（2，9），且交x軸于A，B兩點，交y軸于點C．其中B點坐標（8，0）．
（1）求拋物線的表達式；
（2）點F是直線BC上方拋物線上的一動點，過點F作FD⊥BC，交BC于點D，過點F作y軸的平行線交直線BC于點E，過點D作DG⊥EF，交EF于點G，求DG的最大值及此時點F的坐標；
（3）在（2）問中DG取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線CB方向平移5個單位長度，點M為平移后的拋物線的對稱軸上一點，在平面內確定一點N，使得以點A、F、M、N為頂點的四邊形是以AF為邊長的菱形，寫出所有符合條件的點N的坐標，并寫出求解點N的坐標的一種情況的過程．
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）y=-x2+x+6；
（2）DG的最大值為：，此時點F（4，9）；
（3）點N的坐標為：（13，15）或（13，3）或（1，-6）或（1，6）．
3
8
9
4
（2）DG的最大值為：
72
25
（3）點N的坐標為：（13，15）或（13，3）或（1，-6
3
3
【解答】
【點評】
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發布：2024/10/13 11:0:2組卷：300引用：6難度：0.3
相似題
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1．如圖，拋物線y=-x2+bx+5與x軸交于A，B兩點．
（1）若過點C的直線x=2是拋物線的對稱軸．
①求拋物線的解析式；
②對稱軸上是否存在一點P，使點B關于直線OP的對稱點B'恰好落在對稱軸上．若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（2）當b≥4，0≤x≤2時，函數值y的最大值滿足3≤y≤15，求b的取值范圍．發布：2025/6/22 2:30:1組卷：2257引用：18難度：0.6 -
2．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+
x+c與y軸交于點C，與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），其中A（-233，0），tan∠ACO=3．33
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點D為直線BC上方拋物線上一點，連接AD、BC交于點E，連接BD，記△BDE的面積為S1，△ABE的面積為S2，求的最大值；S1S2
（3）如圖2，將拋物線沿射線CB方向平移，點C平移至C′處，且OC′=OC，動點M在平移后拋物線的對稱軸上，當△C′BM為以C′B為腰的等腰三角形時，請直接寫出點M的坐標．
發布：2025/6/22 1:0:1組卷：1858引用：4難度：0.1 -
3．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2-4ax+c（a≠0）與y軸交于點A，將點A向右平移2個單位長度，得到點B．直線y=
x-3與x軸，y軸分別交于點C，D．35
（1）求拋物線的對稱軸；
（2）若點A與點D關于x軸對稱，
①求點B的坐標；
②若拋物線與線段BC恰有一個公共點，結合函數圖象，求a的取值范圍．發布：2025/6/22 2:0:1組卷：1146引用：10難度：0.4