實際問題：
各邊長都是整數，最大邊長為31的三角形有多少個？
問題建模：為解決上面的數學問題，我們先研究下面的數學模型
在1～n這n個自然數中，每次取兩個數（可重復），使得所取的兩個數之和大于n,有多少種不同的取法？
為了找到解決問題的方法，我們把上面數學模型簡單化．
探究一：
在1～4這4個自然數中，每次取兩個數（可重復），使得所取的兩個數之和大于4，有多少種不同的取法？
第一步：在1～4這4個自然數中，每次取兩個不同的數，使得所取的兩個數之和大于4，根據題意，有下列取法：1+4，2+3，2+4，3+2，3+4，4+1，4+2，4+3；而1+4與4+1，2+3與3+2，…是同一種取法，所以上述每一種取法都重復過一次，因此共有

1

+

2

+

2

+

3

2

=4=

4

2

4

種不同的取法．
第二步：在1～4這4個自然數中，每次取兩個相同數，使得所取的兩個數之和大于4，有下列取法：3+3，4+4，因此共有2種不同的取法．
綜上所述，在1～4這4個自然數中，每次取兩個數（可重復），使得所取的兩個數之和大于4，有

4

2

4

+2種不同的取法．
探究二：
在1～5這5個自然數中，每次取兩個數（可重復），使得所取的兩個數之和大于5，有多少種不同的取法？
第一步：在1～5這5個自然數中，每次取兩個不同的數，使得所取的兩個數之和大于5，有下列取法：1+5，2+4，2+5，3+4，3+5，4+2，4+3，4+5，5+1，5+2，5+3，5+4，而1+5與5+1，2+4與4+2，是同一種取法，所以上述每一種取法都重復過一次，因此共有

1

+

2

+

2

+

3

+

4

2

=6=

5

2

-

1

4

種不同的取法．
第二步：在1～5這5個自然數中，每次取兩個相同數，使得所取的兩個數之和大于5，有下列取法：3+3，4+4，5+5，因此共有3種不同的取法．
綜上所述，在1～5這5個自然數中，每次取兩個數（可重復），使得所取的兩個數之和大于5，有

5

2

-

1

4

+3種不同的取法．
探究三：
在1～6這6個自然數中．每次取兩個數（可重復），使得所取的兩個數之和大于6，有多少種不同的取法？（仿照探究二寫出探究過程）
探究四：
在1～7這7個自然數中，每次取兩個數（可重復），使得所取的兩個數之和大于7，有

16

16

種不同的取法．
探究五：
在1～n（n為偶數）這n個自然數中，每次取兩個數（可重復），使得所取的兩個數之和大于n,有

（

n

2

4

+

n

2

）

（

n

2

4

+

n

2

）

種不同的取法．
探究六：
在1～n（n為奇數）這n個自然數中，每次取兩個數（可重復），使得所取的兩個數之和大于n,有

（

n

2

-

1

4

+

n

+

1

2

）

（

n

2

-

1

4

+

n

+

1

2

）

種不同的取法．
問題解決：
（1）各邊長都是整數，最大邊長為20的三角形有

110

110

個；
（2）各邊長都是整數，最大邊長為31的三角形有

256

256

個．